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一组勾股定理探究题 勾股定理是初中数学中的重要定理之一.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，反映了三边之间特殊的平方关系一、有关勾股定理证明方面的探究题 【例题1】如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长是c。如图2，是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？ （2）用这个图形证明勾股定理。 （3）假设图1中的直角三角形有若干个，你能利用图1中所给的直角三角形拼成另一种可以证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）。 解：（1）示意图如图3，是直角梯形。 （2）根据梯形面积公式知：S梯形 = (a+b) 2 ; 同时该梯形面积等于所给三个三角形的面积之和：S梯形 =2×(ab)+ c2 所以，S梯形= (a+b) 2 =2×(ab)+ c2 化简得：a2+b2=c2 (3)如图4，等等。 二、有关勾股数规律方面的探究题 【例题2】观察下列表格： 列举 猜想 3、4、5 32=4+5 5、12、13 52=12+13 7、24、25 72=24+25 …… …… 13、b、c 132=b+c 请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值。 解：通过观察，每组勾股数的第一个都是奇数，3，5，7，9…… 那么第n个奇数为2n+1 设第二个数为x，第三个数为y 则（2n+1）2+x2=y2 4n2+4n+1=（y+x）（y-x） 通过观察，每组勾股数中，第三个数与第二个数相差都为1 y-x=1，y+x=4n2+4n+1 通过这两个就可求出x=2n2+2n，y=2n2+2n+12+2×6=84,c=2×62+2×6+1=85 三、有关勾股定理拓展方面的探究题 【例题3】△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图5，根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图6和图7，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。 解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2 ；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2c2 当△ABC是锐角三角形时， 证明：如上图8，过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x 根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2 即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x2 ∴a2＋b2＝c2＋2ax ∵a0，x0 ∴2ax0 ∴a2+b2c2 当△ABC是钝角三角形时， 证明：如上图9，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D。 设CD为x，则有DB2=a2－x2 根据勾股定理得 (b＋x) 2＋(a2―x2)＝c2 即 b2＋2bx＋x2＋a2―x2＝c2 ∴a2＋b2＋2bx＝c2 ∵b0，x0 ∴2bx0 ∴a2+b2c2 四、有关勾股定理应用方面的探究题 【例题4】如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边作三个正方形，其面积分别S1、S2、S3，S1、S2、S3如图，分别以直角三角形ABC三边为边作三个正，其面积分别S1、S2、S3，S1、S2、S3分别以直角三角形ABC三边为边作三个，其面积分别S1、S2、S3，S1、S2、S3(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 . 解：设直角三角形的三边BC、CA、AB分别为a、b、c，则c2=a2+b2 (1) S1=S2+S3 。(2) S1=S2+S3 。 证明如下： (3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3. 证明如下： ∵ 所作三个三角形相似， ∴ ， 。 (4) 分别以直角三角形ABC三边为边作，其面积分别S1、S2、S3表示，S1=S2+S3 。