三次方程求解.doc

一场别开生面的数学竞赛 —— 一元三次方程获解 公元1535年2月22日，威尼斯的一所大教堂里公开进行着一场数学竞赛，参加竞赛的一方是意大利波伦亚大学教授费罗的学生菲奥尔，另一方是N·丰塔纳。 引起这场竞赛的原因是解一元三次方程。 竞赛的内容是双方各出30道一元三次方程给对方，同时开始解答，谁解得多、快，解得准确，谁就获胜。 在二十世纪以前，代数方程求解问题可以说一直是代数学的中心问题。所谓代数方程，指的是多项式方程，即形如 anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 的方程，其中最简单的是一次方程，这类方程很容易求解。其次是一元二次方程，二次方程的求解问题有久远的历史，巴比伦泥板中就载有二次方程问题；古希腊人和中国《九章算术》都解出过某些二次方程；中国赵爽在解一个有关面积的问题时，相当于得出了二次方程-x2+kx=A的一个根x=(k-)；七世纪印度人婆罗摩笈多给出求方程x2+px-q=0的一个根的公式x=(-p)；一元二次方程的一般解法在九世纪时，就由阿拉伯数学家花拉子模求出来了。 对一元三次方程的研究自古有之。在巴比伦泥板中就有相当于求解三次方程的问题；阿基米德讨论过方程x3+a=cx2的几何解法；七世纪中国王孝通在自己的著作《缉古算经》中提出了要用三次方程解的问题列出三次方程并给出三次方程的一个正解，但没有方程的列法也没有方程的具体的解法长达两年的互致公开信争辩，后来向丰塔纳提出公开辩论的挑战，1548年6月，丰塔纳决定应战，约定当年8月 10日在米兰大教堂附近举行公开辩论，请米兰执政官费兰特做评判人．辩论进行了两天，第一天争论无结果，第二天由于丰塔纳拒绝出席而使费拉里获胜。由于《大术》流传甚广，影响巨大，也由于卡尔达诺确实为一元三次方程的解法做了大量有益的工作，后世把一元三次方程求解公式称为“卡尔达诺公式”。 十六世纪，人们在找到一元三次方程一般解法的成功的激励下，乘胜求出了一元四次方程的一般解法，而对更高次方程的一般解法问题却无法解决。直到十九世纪二十年代，挪威数学家阿贝尔认识到一般的四次以上方程没有根式解，但在什么条件下可解，在什么情况下不可解，还是不得而知。大约过了十年，法国年轻的数学家伽罗华才证明了五次及更高次的一般代数方程无一般解法，这才彻底解决了高次方程一般解法的问题。 【附录】 一、【一元三次方程的解法】 1．解方程x3=1。 ∵ x3-1=(x-1)(x2+x+1) ∴ (x-1)(x2+x+1)=0， ∴ x1=1，x2=，x3=。 若ω表示或，则1、ω，ω2是x3=1的三个根。这些根叫做三次方程的单位根。 2．解方程x3=a。 方程可化为=1。 于是 x=ωi（i=0，1，2） 是原方程的三个根。 3．解方程x3+ax+b=0。 将方程变形为可以求解的二次方程的形式。为此，将x分拆成两个未知数，令 x=u+v。 代入原方程得到 u3+v3+3u2v+3uv2+a(u+v)+b=0， u3+v3+b+(3uv+a)(u+v)=0。 只要u3+v3+b=0，3uv+a=0，便保证了x=u+v是原方程的根。为此解方程组 这方程组可变为 由二次方程根与系数的关系，u3、v3满足方程 y2+by=0。 于是 u3==A， v3==B。 u、v各有三个值，设u0，v0各是一值，则另外两个值分别为u0ω，u0ω2；v0ω，v0ω2。 由于uv=，所以u、v共有三组值 所以原方程的三个根是 x1=+，x2=ω+ω2，x3=ω2+ω。 Δ=叫做方程x3+ax+b=0的判别式。 ⑴当Δ0时，u3，v3都是实数，且u3≠v3。它们的立方根表示为，。原方程的根是 +，ω+ω2，ω2+ω。 ⑵当Δ=0时，u3，v3都是实数，且u3=v3。它们的立方根为，方程的根为 -2，，。 ⑶当Δ0时，u3，v3是共轭虚数，方程有三个不同的实根。 对一般的一元三次方程 y3+ay2+by+c=0，（a≠0）。 我们设法将二次项消去。令 y=x+k， 代入方程得到 x3+(3k+a)x2+(3k2+2ak+b)x+(k3+ak2+bk+c)=0。 取k=，方程变为 x3+px+q=0。 其中 p=+b=+b， q=+c=+c。 二、【卡尔达诺简介】 卡尔达诺（1501年～1576年）有毁有誉的意大利数学和医学教授。 卡尔达诺天资聪明，有着丰富而有趣的经历。在一生中超过40年的时间里，他几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观察、去思考。最终，在1526年