不相交的轮换.ppt

前页 前页 前页 * 目录 后页 返回 * 前页 定理1.6.4 --置换~ 不相交的轮换 §1.6置换群与对称群 一、置换群的定义 定理1.6.1 例1 例2 定理1.6.2 ---对称群的阶 例5 例3 定义1.6.2 ---不相交的轮换 例4 例6 定理1.6.5 ---置换~对换 定理1.6.3 ---轮换的性质 二、置换群的构成 定义1.6.1 ---轮换 三、置换群的分类 定理1.6.6 ---唯一性 定义1.6.3 ---偶、奇置换 定理1.6.8 ---构成子群 定义1.6.4 ---交换群 定理1.6.7 ---奇、偶置换个数 §1.6置换群与对称群 例8 例7 一、置换群的定义 在§1.4中, 我们证明了非空集合 的全体可逆 变换关于映射的合成构成集合 的对称群 , 并且 把 的任一子群叫做 的一个变换群. 如果 是由 个元素组成的有限集合, 则通常把 的一个可逆变换 叫做一个 阶置换(permutation), 把 叫做 次对称群, 并把 记作 , 同时称 的子群为置换群(permutation group). 定理1.6.1 每一个有限群都同构于一个置换群. 定理1.6.2 次对称群 的阶是 由于集合 的元素本身与我们所讨论的问题无 关, 所以可不妨记 以下, 我们总假定 就代表这个集合. 设 为 的任 一置换, 如果 把1映成 ,2映成 , , 映成 , 则 可以把这个置换记作 其中第一行表示集合 的 个元素, 第二行的元索 表示第一行的元素 在映射 的作用下所对应的 象. 由于集合 的元素的次序与映射 是无关的, 所 以我们也可把 表示成 等等, 只要在 下两行的元素上下对应就可以了. 观察(1.6.1)式我们发现, 如果固定第一行元素 的次序, 则第二行 就是的一个排列, 且每一 个置换都惟一对应了一个这样的排列. 反之, 每一个 级排列也可按(1.6.1)式得到惟一的一个 阶置换. 由于 个数共有 个 级排列, 所以 个元素的集合共 有 个 阶置换. 例1 写出 的全部元素. 解 按（1.6.1）式, 我们只要在每个置换的第一行 按顺序写上1,2,3, 再在第二行分别写上,1,2,3的全部6 个排列即可. 据此, 我们得到 的六个元素为 例2 设置换 将1变为3,2变为5,3变为2,4变为4,5 变为1, 则 按(1.6.2)式, 我们还可以把 这个置换写成 由置换的定义容易知道,在 阶置换中, 恒等置换 是群 的单位元, 的逆元为其逆置换 置换 (F1) 设置换 ,则对任一 阶置换 , 证 首先, 由于置换是一一对应, 所以 恰好包含了集合 中的 个数.又对任意的 所以 将 映到 , 即 二、置换群的结构 定义1.6.1 设是一个 阶置换 .如果存在1到 中 的个不同的数 使 并且 保持其余的元素不变,则称 是一个长度为 的轮换(cycle), 简称 轮换, 记作 . 2--轮换称为对换(transposition). 定义1.6.2 设 与 是两个轮换, 如果 则称 与 为两个不相交的轮换. 定理 1.6.3 任何两个不相交轮换的乘积是可以交 换的. 证 设 与 是两 (1) 如果 则 个不相交的轮换， 是 中的任意一个数. 所以 (2)如果 . 从而 , 所以 (3)同理可证, 如果 ,也有 这就证明了结论. 则 定理1.6.4 每一个置换可表为一些不相交轮换的 的乘积. 证 对 的元素个数 用数学归纳法. 当 时,1阶