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不确定原理的理解及其应用 材料物理081 柳渊 邬竞为 摘要：不确定原理是客观世界的自然规律之一,是物理学中极为重要的关系式。不确定原理可以从算符的对易关系中严格地导出, 也可以由电子的衍射中定性地简单导出。本文由普朗克的能量量子化假定,玻尔的角动量量子化假定, 以及德布罗意关系式--波粒二象性假定中非常简洁地导出不确定原理的各种表达式。试图在理解其意义的基础上例举其相关的应用，得出对不确定关系的理解，揭示了微观世界的本质。 关键词：不确定原理 理解 推导 应用 引言：量子世界给我们展示了微观粒子的一种特殊属性：波粒二象性。而这种特性直接导致了不确定原理的产生。作为量子力学的一个基本原理，研究不确定原理的推导，理解及其应用对于正确认识量子力学理论，并更好地将量子力学应用于实践都有着巨大的作用和深远的意义。 1.不确定原理的提出： 在1926年夏天,量子理论的情况可以用两句话来表征:矩阵力学与波动力学在数学上的等价性已为薛定谔阐明,其数学方案的一致性( consistency)是很难怀疑的；但关于这一理论的物理解释却仍然争论得很厉害。波动力学创始人薛定谔等人致力于排除量子理论中的如量子跃迁等“不合理”性质,而在云室内观察到的微观粒子径迹的连续性看来对薛定谔等人是有利的。矩阵力学的代表海森堡集中精力研究如何用量子力学的数学方案表达云室中的电子路径。在爱因斯坦“决定什么东西能被描述的是理论”的思想下,终于使他意识到:“在云室中的电子并没有真正的路径。那里只有一连串的小水珠。每一小水珠粗糙地指明了电子的位置；而电子的速度可以从这一串小水珠粗糙地得出。” 矩阵力学指出：，如果p是动量，q是位置，先观测动量p，再观测位置q，这和先观测q再观测p，其结果是不一样的。也就是说我们在观测一个量的同时必然会影响到另一个量。根据以上原理，海森堡于1927 年提出的一个关于微观粒子运动的基本规律：不确定原理。它指出：有这样一些成对的物理量（或称力学量）， 它们不可能同时具有确定值。其中一个量越是确定， 其共轭量就变得越不确定。例如, 坐标与相应方向的动量分量。海森堡发现，测量p和测量q的误差，它们的乘积必定要大于某个常数。如果我们把p测量得非常精确，也就是说非常小，那么相应地，必定会变得非常大，也就是说我们关于q的了解就要变得非常模糊和不确定。反过来，假如我们把位置q测得非常精确，p就变得摇摆不定，误差急剧增大。它数学表述形式为：。和分别是测量p和测量q的误差，h是普朗克常数。其另外一著名表达式为，称为能量-时间不确定原理。 2.不确定原理的推导 我们知道,物质的波动性质事实上表明了在微观物理学中,位置确定与动量确定的之间有直接的关联,就是说,我们不能同时测量一个粒子精确的位置和动量,即有: 我们的出发点是由波函数( x)描述的一个任意的粒子状态, 我们假定波函数( x )归一化为1, 并首先限制于一维运算。对于Px 或x 的偏差,由它们的平均值来定义其量度 均方偏差： （1） （2） 为方便推导,我们选择适当的坐标系:假定原点固定在x ,并使原点随分布x 的中心而运动, 以致任何时刻都有于是我们有: 和 由此得到: 和 （3） 此平均值是容易运算的: 即 （4） 为了建立和之间的关联,我们考虑积分 （5） （6） 令 （7） （8） 由于在积分边界上为零 （9） 由(7) (8) (9)三式, (6) 式可写成 由于按照(5) 式的二阶多项式是正定的,判别式必定小于等于零,对所有 , I()必须都为正,所以二次方程I() = 0 的根必为复数,因此有: 将(7) (8) (9)三式代入上式,我们可以得到动量和位置的不确定关系 3.不确定原理的理解: 3.1.不确定原理的由来的物理解释: 3.1.1.测不准关系: 如果谁想要阐明“一个物体的位置”（例如一个电子的位置）这个短语的意义，那么他就要描述一个能够测量“电子位置”的实验，否则这个短语就根本没有意义。但是，要测电子，显而易见的办