中科院课件现代数字信号处理Chapter+4.ppt

图 4.5.3 AR模型阶次太小时的平滑作用 最终预测误差（FPE）准则 阿凯克信息论准则 自回归传递函数准则（CAT） 4.5 最大熵谱估计 估计思想：采用最大熵原则，外推自相关函数方法估计信号功率谱。它基于将已知的有限长度自相关序列以外的数据用外推的方法求得，而不是把它们当作是零。 1. 利用最大熵的原则外推自相关函数 按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的定义为 式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为 式中, p(x)是X的概率密度函数， 先讨论一维高斯分布的信号的熵，然后推广到N维。 假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为 同理可求得N维高斯分布信号的熵为 式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最大，要求det(Rxx(N))最大。 用最大熵方法外推rxx(N+1)： 设rxx(N+1)是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为 为选择rxx(N+1)使det(Rxx(N+1))最大， 解下列方程： 用数学归纳法，得到 上式是rxx(N+1)的一次函数，可以解出rxx(N+1)。以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们为零， 这就是最大熵谱估计的基本思想。 方法步骤： 选择合适的信号模型； 根据x(n)有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型参数; 基于此模型，计算输出功率谱。 4.3.1 模型选择 对于具有尖峰的谱，应该选用具有极点的模型，如AR和ARMA模型； 对于具有平坦的谱峰和深谷的信号，可以选用MA模型； 既有极点也有零点的谱应选用ARMA模型，相对地说, ARMA模型适用范围较宽。 在选择模型合适的基础上， 应尽量减少模型的参数。 图 4.3.1 对AR(2)信号的模型选择 图 4.3.1 对AR(2)信号的模型选择 4.3.2 模型参数和自相关函数之间的关系 假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示： AR模型的系数和信号自相关函数之间的关系 通过求解Yule-Walker方程求模型参数： m≥1 m=0 估计功率谱的方法 首先根据信号观测数据估计信号自相关函数； 再按照所选择信号模型，解上面相应的方程，求出模型参数； 最后按照下式求出信号的功率谱: 4.3.3 AR模型谱估计的性质 1、 AR模型的线性预测 AR模型的系统函数为 线性一步预测误差滤波器的系统函数为 当api=ai(i=1, 2, 3, …,p)时，He(z)和H(z)互为逆滤波器，He(z)=1/H(z),因此He(z)也称为白化滤波器。 利用上述AR模型与线性预测之间的关系，可以实现预测解卷积。 2、 预测误差滤波器的最小相位特性 AR模型H(z)必须因果稳定，即极点均在单位圆内， 才能保证信号x(n)是平稳随机信号，于是He(z)应为最小相位系统。 当最佳P阶线性预测系数与AR模型参数相同时，由此得到的极点保证在单位圆内，AR滤波器稳定，预测误差滤波器He(z)或者A(z)是最小相位系统。 3、 AR模型隐含自相关函数延拓特性 AR模型隐含着自相关函数外推的特性，使它具有高分辨率的优点。 m≥1 m=0 0≤m≤p mp 4.4 AR谱估计的方法 AR谱估计方法可归结为求解AR模型系数或线性预测器系数的问题。 AR模型参数估计方法： 信号预测误差最小原则（或预测误差功率最小） 自相关法（Levison递推法） Burg法 协方差法 修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法） 最大熵原则——最大熵谱估计方法 1、 自相关法——列文森（Levinson）递推 估计方法：自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小；采用Levison-Durbin递推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型参数。 预测误差功率为 假设信号x(n)的数据区间在0≤n≤N-1范围，有P个预测系数，N个数据经过冲激响应为api(i=0,1, 2, …, P)的滤波器， 输出预测误差e(n)的长度为N+P， 因此应用下式计算: 预测误差功率最小，得到 采用Levinson-Durbin递推法求解Yule-Walker方程： 由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到{a11,σ21}，{a21,a22, σ22}，…，{ap1,ap2,…,app,σ2p}。 AR模型的各个系数以及模型输入白噪声方差求出后， 信号功率谱用下式计算： 图 4.5.1 利用列文森递推法计算功率谱的流程图 性能分析：该