二体问题：N=2方程的解法 - 中国科学院数学研究所.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 退化性 * KAM理论向保体积微分同胚的延伸 * Arnold扩散 KAM不变环面在相空间中构成一个无处稠密的闭集，余集便是由各阶共振区构成的处处稠密的开集，尽管其Lebesgue测度较小。当系统自由度不少于3（2.5）时，这个开集道路连通。一个自然的问题便是是否存在这样的轨道，沿着该轨道其作用量变化可以很大 * Arnold扩散 * Arnold扩散 * 自从1964年Arnold提出该问题以来，有大量的工作研究此问题。方法主要有两类：几何方法与变分方法 a priori unstable system 其中 R. de la Llave 及其合作者(2004), P. Bernard (2008), D.Treschev (2004), 程–严 (2004,2009) * a priori stable system （近可积系统） 关于2.5或3个自由度系统，该问题近期有望解决。任意自由度的解决有待时日。直观看，自由度越大，扩散越容易。 * 多自由度Hamilton系统的动力学不稳定 对于二维保面积扭转映射而言，椭圆不动点具有Lyapunov稳定性，但是对于多自由度系统而言，这样的稳定性相信不存在。根据我们研究Arnold扩散的经验可以猜测： 尽管KAM环面在线性近似下具有稳定性，但是考虑非线性作用后，KAM环面不再具有Lyapunov稳定性。任意两个KAM环面之间存在连接轨道。 动力系统中心问题（M.Herman） 典型系统的拟遍历猜测成立：自治系统的等能量面上具有稠轨道，即一条轨道的轨迹的闭包是整个等能量面。 * 变分法简介 * 变分法简介 * 有反例 变分法简介 * 变分法简介 * 变分法简介 * 稳定与不稳定流形的概念扩张 * 稳定与不稳定流形的概念扩张 * * * Poincaré used to say that precise formulation, as a question admitting a “yes or no” answer, is possible only for problems of little interest. Questions that are really interesting would not be settled this way: they yield gradual forward motion and permanent development. V. I. Arnold (1999) Poincare followed rather the ideas of Francis Bacon (who claimed that to start scientific investigations from general axioms and principles is a dangerous and damned methods, leading to unavoidable mistakes) than the Cartesian theory (saying that copnformity to any reality is unrelated to science, which is the art of deducing corollaries of arbitrary axioms). V.I. Arnold (2006) * 谢 谢 * * * * * * * * * * * * * Hamilton系统的运动复杂性 程崇庆 南京大学数学系 ?Isaac Newton 1642-1727 * 二体问题：n=2方程的解法 根据角动量守恒，二体运动在一个平面上。 * 二体问题：n=2方程的解法 * 椭圆情况的图像（坐标原点固定在一个质点） Kepler: 单位时间内扫过的面积为常数 二体问题：n=2方程的解法 * 三体问题：n=3 方程无法求显式解 根据Laplace的解释，牛顿认为只有上帝能解决此问题， 控制着稳定性。 * Joseph-Louis Lagrange? 1736-1813 分析力学的奠基人 构型空间: 欧式空间 流形