二次型最优控制.doc

目录 1.绪论 2 2.线性二次型最优控制原理 2 3.最优控制的设计 4 3.1系统模型的建立 4 3.2原系统能控性、能观性、稳定性与性能指标分析 6 3.2.1判断系统能控性、能观性与稳定性 6 3.2.2原系统性能分析 9 3.3最优控制的设计 10 3.3.1进行最优设计的代码： 10 3.3.2原系统的阶跃响应与最优控制后的阶跃响应的对比 11 3.3.3对改进后的系统进行性能指标的分析 12 3.4研究Q矩阵、R矩阵参数变化对最优控制器设计的影响 14 3.4.1计算按线性二次型最优控制设计后系统的传递函数 14 3.4.2研究Q矩阵参数变化对最优控制器设计的影响 15 3.4.3研究R矩阵参数变化对最优控制器设计的影响 19 3.4.4 Q、R矩阵的最优参数 20 4.simulink仿真验证 21 4.1原系统仿真 21 4.2线性二次型最优控制后系统的仿真模型 22 4.3二次型最优调节器与传统双闭环PI调节器的对比 24 5.设计小结 25 6.参考文献 25 1.绪论 在工程实践中，直流电动机以其稳定的性能，良好的调速性，得到了工业生产的认可和应用，这就使得对直流电动机的控制成为了越来越多人研究的重点。目前，直流电动机的控制主要采用的为常规的 PID 控制技术， 但由于电动机的非线性，再加上PID 控制技术中 PID 参数的整定存在一定的复杂性，通常采用的是经验整定法以及实际调试改变参数，使得调试时间长，工程实践成本高，而且不能保证控制系统的优化，在一定程度上阻碍了工业发展。随着生产和工业的发展， 现代控制理论应运而生， 最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控制的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指标为最小。线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。 本次设计以直流电动机为控制对象,采用线性二次型调节器技术完成了直流电动机的转速控制设计，利用获得的控制系统进行仿真并与常规PI控制设计效果进行了对比，结果表明LQR控制系统更好地实现了转速控制，适合直流电动机转速控制要求。 2.线性二次型最优控制原理 假设线性时不变系统的状态方程模型为 引入一个最优控制的性能指标，即设计一个输入量u,使得 J= 为最小。其中Q和R分别为对状态变量和输入变量的加权矩阵; tf为控制作用的终止时间。矩阵S对控制系统的终值也给出某种约束，这样的控制问题称为线性二次型（Linear Quadratic，简称LQ）最优控制问题。 为了求解LQ问题，我们取Hamilton函数 并利用变分原理推导出LQ问题解满足的必要条件 其中一种较为简便的解法为： 令(t)=P(t)x(t) 而将对(t)的求解转化到对函数矩阵P(t)的求解，特别的，将(t)=P(t)x(t) 代入上述式子中可得函数矩阵P(t)因满足的微分方程如式（1） (1) 假定方程(1)的唯一对称半正定解P(t),则LQ问题的解u(t)如式（2）： （2） 上述LQ问题的一个特例是动态方程为定常的情形 相应的控制向量取为 而二次性能指标如式（3） （3） 这里的Q和R是给定的实对称正定（或半正定矩阵），他们规定了误差和控制信号能量消耗的模式 这里的P是满足方程 的唯一对称半正定矩阵解。 3.最优控制的设计 3.1系统模型的建立 本文研究的它激式直流电动机系统如图 1所示. 我们在设计中取0。将电枢电流与转速作为状态变量，控制电压作为输入变量，转速作为输出变量电机电枢回路电压平衡和电机运动平衡的一组微分方程式如式（4） （4） 选择状态变量x1=i,x2=n，则系统的状态空间表达式如式（5） （5） 由此可得系统的状态空间表达式如式（6） （6） 系统建模的程序如下： A=[-55.57 -0.151;5242.27 0]; B=[1.06 0]; C=[0 1]; D=0; sys=ss(A,B,C,D) a = x1 x2 x1 -55.57 -0.151