关于人大版《微积分》教材的批评 中国人民大学出版社出版的赵树嫄 .doc

关于人大版《微积分》教材的批评 中国人民大学出版社出版的赵树嫄老师主编的《微积分》教材历时久远、使用广泛，受到读者欢迎，正如第三版修订说明所讲：“直至目前，仍保持很大的年度发行量”． 但从1982年第一版到1988年第二版《微积分》（修订本），再到2007年《微积分》（第三版）成为教育部推荐教材，使用二十多年，经两次修订，书中若干知识叙述不严密和例题、习题解答错误都没有得到纠正．本文意在帮助编者对读者负责，指正上述问题，并对其中部分内容给出新的论证，供编者再次修订时参考．为方便对照，我们对纠错的问题不做分类，只按《微积分》（第三版）（2008年1月第4次印刷）（以下简称教材）页码顺序依次列出． 1．（教材8页）定义1.7 设有集合和，对任意的，，所有二元有序数组构成的集合，称为集合与的笛卡尔乘积（原文，波线是本文加的，以下同）． 定义中“数组”一词不妥，可以改为“元素对”或“元素组”．事实上，集合、可以不是数集，如教材习题一（A）14题（教材41页），同济大学《高等数学》（第五版，上册）给出了两个集合直积（笛卡尔（Descartes）乘积）定义的正确叙述（第3页）． 2．（教材28页）定义1.11 对函数，如果存在正的常数，使得恒成立，则称此函数为周期函数，满足这个等式的最小正数，称为函数的周期． 这个定义中关于“周期”的意义的规定显然不妥，因为不是所有的周期函数都存在使恒成立的最小正数，最经典的例子是狄利克雷（Dirichlet）函数 容易验证，对任何正有理数都恒成立，即狄利克雷（Dirichlet）函数是周期函数，但不存在最小的正有理数．按教材定义1.11，周期函数没有周期！ 3．（教材86页）定义2.16 如果函数在点处的左、右极限都存在，但，则称点为的第一类间断点，…… 定义中“不全等于”这样的叙述相当于明确函数在点必须有定义，但事实上函数的第一类间断点包含在该点没有定义的情形．教材也认可这种情况，如对习题二（A）30（3）题给出的答案就是 是的第一类间断点（可去间断点）． 4．（教材89页）例11 求 这个极限是不存在的．因为式中函数在的一侧没有定义，所以只存在． 5．（教材99页）习题二（B）24题给出结果 ，这是完全错误的．事实上，当时，函数没有定义，按情形的函数极限定义，极限 根本就不存在． 但有趣的是函数的所有间断点都是可去间断点，并且可以证明 这样，如果定义 则有． 6．（教材107页） ……, 就是在点处的切线的斜率． 这里“曲线”是不正确的表达，应该是“曲线”． 7．（教材200页）习题四（A）43题 题目陈旧，命题中的数据在现时的经济活动中根本不靠谱，更不妥当的是当日产量（命题的结果）时，工厂的最大日利润 8． （教材215页）例12 求不定积分 解：令 （） … 于是 = … 教材给出上面解答是错误的．因为当时， 求不定积分是介绍不定积分第二类换元法的重要例题，所有教科书都要讲到，并将结果列为不定积分基本公式．一般的处理是或只考虑，设，如华东师范大学的《数学分析》；或先考虑，设，再用所得结果处理的情形，如同济大学的《高等数学》．本文给出下面一步到位的简明解法： 令，，则 顺便强调一下，原函数的概念是有“区间”设定的，我们取，既保持了被积函数的定义域：或,又能实现开方的运算． 9．（教材224页）习题五（A）9（14）题给出的答案 是错误的．这个错误仍然是教材计算不定积分时的换元错误导致的．正确解答是： 令，，则 当时，对应 当时，对应 综上结果 10．（教材224页）习题五（A） 8（37）题给出的答案 也是错误的．这里被积函数的定义域为，所以应在区间内给出原函数，正确解答为 ． 11．（教材260页） 例8（2） 计算积分 应给出，的假设．否则本例反常积分不收敛． 12．（教材303页）函数的麦克劳林幂级数展开式（7.25）式写为 （） 波线处的省略记号是多余的． 以上列出指正的错处都是人大版《微积分》从第一版到第三版一直存在的问题，并且《微积分》（第三版）配套辅导书“学习参考”中相应习题解答都重复了同样的错误．此外《微积分》（第三版）中还有十多处印误，由于不难识别，限于篇幅，不再赘述．期待人大版《微积分》再次修订，不说体例与内容结构，先做到和同济大学的《高等数学》一样几乎没有知识问题，甚至找不到一处印误，给出一本真正对读者负责，不负教育部推荐的精品教材． 参 考 文 献 [1] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．第5版．北京：高等教育出版社，2002. [2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．第3版．北京：高等教育出版社，2001.