几何画板在圆锥曲线中的应用6.doc

目 录 内容摘要 1 关键词 1 1利用几何画板促进概念的形成 2 1.1探究双曲线的定义及性质 2 1.2探究抛物线的定义及性质 5 1.3探究椭圆内接三角形面积 6 2探求圆锥曲线问题 8 2.1求最值问题 8 2.2几何画板探求轨迹问题 9 2.3给予学生自己探索的机会 10 2.4验证定理成立 11 注释 12 参考文献 12 英文摘要 12 几何画板在圆锥曲线中的应用 内容摘要：现代教育技术的广泛应用高中数学课程应提倡实现信息技术和课程内容的有机整合。在这一时代背景和教育背景下，本研究通过研究几何画板在圆锥曲线中的应用，利用几何画板教学的，探讨学生借助几何画板进行研究性学习的有效途径。围绕研究主题，全文从以下几个层面和角度进行了相关研究： 1) 研究综述：阐述了目前相关研究的现状，勾勒了几何画板的发展态势，介绍了本研究的相关理论，概括了几何画板的特性。 2) 应用意义：阐述了几何画板是研究性学习圆锥曲线的重要工具，从提高学习效率、信息吸收率、突破重难点、动态把握几何规律、培养学生的创新思维等方面论述了几何画板在高中圆锥曲线课堂教学中的应用意义。 3) 实践探索：几何画板辅助圆锥曲线参数方程的教学、课堂教学实例等方面探索了几何画板实践用于课堂教学的有效模式和有效途径。关键：【目标】【方法步骤】＇A、B、C＇、C当点在点C＇的右侧时出现双曲线的右支；当点移动到线段AB上时轨迹不存在；当点移动到点的左侧时出现双曲线的左支 图1 （2）双曲线的范围：分别过点C、C＇AB、直线l的对称点→拖动点D观察这些对称点的位置变化，探索曲线的对称性。 （4）离心率：度量线段OC和线段OB的长度，计算离心率e=OB/OC→拖动点C、BEMF上任取一点G(点G可以是平面上的任意点，把它限定在圆弧EMF上，是为了方便拖动),作直线OG→分别作直线OE和OF→在双曲线的四分之一支上任取一点K，过K作直线l的平行线，交直线OE于点L→度量距离KL→拖动点G，观察直线OG与双曲线的位置关系→把直线OG拖到直线OE的位置，此时，拖动点K,观察距离KL的变化(图2)。 图2 （6）推导双曲线的方程：利用自定义工具中的“箭头”工具，给线段OB、OM加上箭头，建立坐标系→根据几何条件|DA-DB|=CC推导双曲线的方程。 （7）美化界面：及其渐近线于A、B、C、D四点，看与有怎样的关系？并证明你的结论。 分析：学生咋一看这道数学题，都是字母，比较抽象，有无从下手的感觉，感觉比较棘手。那么教师就可以利用几何画板，分析引导学生，把抽象化具体，化静为动，就可以很好解决这道题。 （1）先建立坐标系，作出一个双曲线及其两条渐近线，先作一条直线l与Y轴平行并与双曲，及其渐近线交于A、B、C、D四点。隐藏直线l,并用线段连接AB，CD，度量线段AB,CD的长度，隐藏直线和一些不必要的点，移动点A,由双曲线的对称性可以知道=。（图3） 图 （2）再新建文件，作出一个双曲线及其两条渐近线，作一条与Y轴不平行的直线l，与双曲线及其渐近线交于A、B、C、D四点。隐藏直线l,并用线段连接AB，CD，度量线段AB,CD的长度，隐藏直线和一些不必要的点，移动点A,再观察线段AB与CD长度的数值变化。（图4） 图4 从表中可以看出，无论如何的移动点A，线段CD和AB的长度，都随点A的移动而改变大小，但是它们的数值都相同，即线段=。 结论：可以得出：=。那么可以几何画板加以验证，如图4用线段连接AD，并标示出中点坐标M，同理，找出线段BC的中点坐标N,并制表（图4）。 证明如下： 当直线l斜率不存在时，即直线l与Y轴平行。由对称性知= 当直线l斜率存在时，方程设为：y=kx+m 由y=kx+m和联立得 得AD的中点坐标M的横坐标 又由y=kx+m和联立得BC的中点横坐标 所以 又MN同在直线l上 所以= 扩展：从=这个结论还可以推得出 ： 因为= ，而点O到线段AB与CD的高相等，所以 1.2探究抛物线的定义及性质 【目标】【步骤】 图5 （2）作抛物线：利用自定义工具中的抛物线(焦点+准线)工具，依次点击点C和直线AB ,得到抛物线(图5)。 （3）抛物线的定义：在抛物线上取点D，作线段DE垂直AB于E，并利用自定义工具作出直角标记→度量线段DC、DE的长度，计算DC/DE,并将度量值和计算结果列表→拖动点D，探索表格中的数据规律。 （4）作抛物线的顶点：作线段CF⊥AB于F，则线段CF的中点O为抛物线的顶点。 抛物线的对称性：以直线CF为镜面，将点D反射到点D→拖动点D，观察点D与抛物线的位置关系(图5)。 （5）推导抛物线的方程：定义O为原点，建立如图坐标系，利用自定义工具中的箭头工具给坐标轴标上箭头，推导抛物线的方程(图5)。 抛物线的离心率：e=DC