南开大学2012线性代数期末考试试卷A卷.doc

南开大学2011～2012学年第2学期期末考试试卷《线性代数》（A卷 共5页） （考试时间：2012年6月16日） 一、填空与选择(30分，每小题3分) 1.设，则________. 2.______________________. 3.设均为阶方阵，则有( ). (A) (B) (C) (D) 4.设向量组线性无关，则的秩为______. 5.设与相似，则______，______. 6.设的全体特征值为，则( )为可逆矩阵. (A) (B) (C) (D) 7.设为线性变换在基下的矩阵，则在基下的矩阵为_______________. 8.设是实对称矩阵的特征向量，且，则( )也是的特征向量. (A) (B)非零 (C)不全为零 (D)全不为零 9.实二此型有标准形( ). (A) (B) (C) (D) 10.设均为阶正定矩阵，则( )不一定是正定矩阵. (A) (B) (C) (D) 二、(28分，前3小题各6分，第4小题10分) 1.计算阶行列式() . 2.设阶方阵满足，求证可逆，并求. 3.求向量组，，，的一个极大无关组，并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量. 4.设，其中为的伴随矩阵，试不计算与，而直接求矩阵. 三、(12分)设线性方程组有解，求参数；求解线性方程组，若有无穷多解，用其特解与对应齐次线性方程组的基础解系联合表出通解. 四、(10分)定义线性空间的变换如下：，. 1)求证是线性变换； 2)求在的基下的矩阵. 五、(15分)求正交矩阵与标准形，使得二次型经过正交线性替换化为标准形. 六、(5分)设矩阵的每列全体元素之和均为. 1)求证是的特征值； 2)设为齐次线性方程组的解向量，求证 . 线性代数试卷答案(120606) 一、(30分，每小题3分) 填空：；；；；. 选择：CCBBB. 二、(28分，前3小题各6分，第4小题10分) 1.. 2.，因而可逆，且. 3.，因而是一个极大无关组，且. 4.，即，因而 . 三、(12分)增广矩阵 ， 因而，且通解为 ，其中为任意常数. 四、(10=4+6分) 1)， ， ， 因而是线性变换. 2) 因而. 五、(15分)二次型的矩阵为 . ， 因而的全体特征值为，二次型的标准形为 . 下面求正交线性替换矩阵. ， 因而标准正交特征向量组为， 正交线性替换矩阵为. 注 属于特征值的特征向量组 . 六、(5=3+2分) 1) ， 因而是的特征值. 2)，即 个等式相加得 . 4