ODE45函数的使用——翻译.doc

在Matlab中使用ode45简介 Matlab中常微分方程常用的函数是ODE45，这个函数能够利用--龙哥库塔法--有效求解带时间变量步长的计算。Ode45用于求解如下的一般问题： （1） 其中，时间t是独立变量，x为时间相关矢量，是时间t和x的函数。当（1）右边的是固定的，且给定x的初始值，那么问题的解是唯一的。 在ME175中，解法是不完整的，但是只要你解决了问题，就可以获得ODE代表的系统运动趋势。这有利于得到一个直观的印象，看起来很复杂的常微分方程，代表的质点运动轨迹确实简单明了的。以下简要解释如何得到运动轨迹： 第一步： 对给定的ODE方程进行降阶处理，得到一系列一阶方程 这就是你要做的第一步，在一张草稿纸上处理。例如，给定ODE方程如下： （2） 对本问题，矢量x有两个组成分量：y和，或 （3） 且 （4） 其中，用（3）中的式子代表了y，，，于是把（2）改写为（4）。 如果求解的问题有更多阶数更多变量呢？例如，我们除了有上面的方程（2），同时还有以下的方程： （5） 那么，我们可以通过构造更大的矢量x同时求解y，z： （6） 然后 （7） 以及 （8） 其中，y变量和z变量的放置位置对求解不造成影响。实际上，任意次序都是有效的，例如 和 但是重要的是，在整个计算过程中，你使用的顺序都必须和一阶ODE方程中定义的变量顺序相同。之后，如果你使用的是（7）中给定的的式子，那么系统的一阶ODE方程，由以下方程组组成。 （10） 而涉及的表征变量结果如下： （11） 基本上，可以处理任意数量的高阶ODE方程。重要的是把它们处理成多个一阶的ODE方程，并且确保记住被求解的矢量X中，不同变量所分配的顺序。 第二步 编写代码 既然你已经有所求解问题的一阶格式，在你编程的主要代码中，将会用到以下的命令 ·fname是函数的M文件名用于求解方程（1）右边代数式的值。这个函数将被输入一阶ODE系统中，并且被积分（见（10），（11））。后面，将会更详细的解释。 注：当然关于ODE45如何积分给定的方程有细微的差别，但是对于简单的问题，不分先后次序的积分，是可以接受的。 ·tspan 是矢量定义了积分的起始点和终点，同时也定义了时间步长。例如，我们需要积分t=0到t=10，希望步数是100步，那么tspan=[0:0.1:10]或者tspan=linspace（0,10,100). ·xinit是初始条件矢量。确保初始值的顺序和给定的x中变量和它倒数的顺序是一致的。同时注意如果x有5个变量，那么同时要输入5个初始值。 ·option这个在matlab的帮助文件中有很好的说明。对于大部分的问题，使用默认值就可以满足计算要求。 ·t是独立变量，计算数组x在时间点t的数值。这个矢量不必等于tspan，ODE45自动调节步数以取得最大的效率和精确度。（在快速变化部分采用小步长，在变化缓慢部分采用大步长）。 ·x相关内容如下。X是数组或矩阵，大小为length（t）*length（xinit）。每一列x代表不同的因变量。例如，，为简单假定t=0,1,2....,10,将会计算函数在11个点的值。 （12） 如果是x的第四个变量，那么得到了在t=0时候的值，得到了在t=6时候的值，得到了t=10时候的值。简而言之， ·代表x的第k个变量，k=1与变量y相关，k=2与变量相关。 ·计算所有变量在某一时间点j的数值 注：在产生hokey pokey舞蹈前，史前儿童围坐在篝火前齐唱： You put your left foot in You put your left foot out You put your left foot in And you shake it all about 当你使用matlab函数ODE45及时完成作业时，x就是要做得全部内容。 不幸的是由于缺乏matlab软件，使得这本书过时了。 · 命令的作用是重新定义变量。、，然后，如果使用变量顺序为 ，应该这么写程序： 当然，也不应该认为定义y，ydot麻烦。直接表达为x的形式（例如，使用代表y），清晰的定义方式有利于后面的调试。 以下，你将以（或是被要求）绘图的形式描述感兴趣的轨迹：质点随时间运动轨迹，在平面中表示角度和径向关系等。绘图和绘制子图的命令在matlab帮助文件中有清晰的说明，这里不再详细说明。记住如果你想在一张图中放多个图，应该使用子图的概念，当然在一张图片中画多个图，不是一个好主意。别忘记给图加标签：包括标题，x轴，y轴的含义，如果多条曲线应该分别标明。 最后，请注意在中包含的仅仅是变量而已，依据自己的喜好使用字母，T替换t，x0替换xinit都是可以的。只有记住使用新变量名，之后的每个引用都用一样的名称。 另一个普遍的错误在于，同一变量的重复定