1405二次函数.doc

14. （2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量x的取值范围是 ▲ ； （2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ； （3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？ 【答案】解：（1）0≤x≤4。 （2）3，2，25． （3）过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。 ∴EI=DC=3，CI=DE=x。 ∵BF=x，∴IF=4－2x。 在Rt△EFI中，。 ∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积， ∴。 当y=16时，， 解得，。 ∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。 【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。 【分析】（1）自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。 （2）由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。 当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。 当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。 （3）求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。 15. （2012四川乐山13分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD． ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标． 【答案】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1。 ∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。 ∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx。 ∴，解得：。 ∴抛物线的解析式为。 （2）①设直线AB的解析式为y=kx+b。 ∴，解得：。 ∴直线AB的解析式为。 ∴C点坐标为（0，）。 ∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x。 ∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。 设P（x，﹣x）。 （i）当OC=OP时，，解得（舍去）。 ∴P1（）。 （ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（）。 （iii）当OC=PC时，由，解得（舍去）。 ∴P3（）。 综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）。 ②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H． 设Q（x，﹣x），D（x，）． S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ?OG+DQ?GH =DQ（OG+GH） = =。 ∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，二次函数的最值。 【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 （2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可。 ②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可。 16. （2012四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=． （1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式； （2）记直线A