15第八章 圆锥曲线方程典型例题.doc

第一节：椭圆及其标准方程 　第二节：椭圆的几何性质 　第三节：双曲线及其标准方程 　第四节：双曲线的几何性质 　第五节：抛物线及其标准方程 　第六节：抛物线的几何性质 第一节：椭圆及其标准方程 例1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值． 　　分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值． 　　解：方程变形为 ． 　　因为焦点在 轴上，所以 ，解得 ． 　　又 ，所以 ， 适合．故 ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程． 　　分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 　　解：当焦点在 轴上时，设其方程为 ． 　　由椭圆过点 ，知 ．又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为 ． 　　当焦点在 轴上时，设其方程为 ． 　　由椭圆过点 ，知 ．又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为 ． 例3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹． 　　分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解．（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程． 　　解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系．设 点坐标为 ，由 ，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 ， ，有 ，故其方程为 ． 　　（2）设 ， ，则 ．????? ① 　　由题意有 代入①，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴上两点）． 例4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 　　分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出 和 （或 和 ）的值．从而求得椭圆方程． 　　解：设两焦点为 、 ，且 ， ． 　　从椭圆定义知 ．即 ． 　　从 知 垂直焦点所在的对称轴， 　　所以在 中， ， 　　可求出 ， ，从而 ． 　　∴所求椭圆方程为 或 ． 例5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点， ， ．求： 的面积（用 、 、 表示）． 　　分析 求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积． 　　解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ， 　　由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限．由余弦定理知： 　　 · ．① 　　由椭圆定义知：?????? ?????② 　　则 得 　　 ． 　　故 　　　　　　 　　　　　　 ． 例6 已知椭圆 ， 　　（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程； 　　（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； 　　（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； 　　（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，求线段 中点 的轨迹方程． 　　分析 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 　　解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则 ????????　　　　 　　①－②得 　　 ． 　　由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ， 　　将③④代入得 ???????　　　 ．?????????????????? ⑤ 　　（1）将 ， 代入⑤，得 ，故所求直线方程为 　　　　??????????? ．????????????????????? ⑥ 　　将⑥代入椭圆方程 得 ， 符合题意，故 即为所求． 　　（2）将 代入⑤得所求轨迹方程为： 　　　　?????????? ．（椭圆内部分） 　　（3）将 代入⑤得所求轨迹方程为 　　　　 ．（椭圆内部分） 　　（4）由①＋②得 　　?????????? ，???????? ⑦ 　　将③④平方并整理得 　　　　 ，??????????? ⑧ 　　　　 ，???????????? ⑨ 　　将⑧⑨代入⑦得 　　　　 ，???????? ⑩ 　　再将 代入⑩式得 　　　　 ， 　　即?????????????? ． 　　此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例7 已知动圆 过定点 ，并且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程． 　　分析 关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 　　解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 ．动点 到两定点，即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，即 ． 　　∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为 的椭圆的方程： ． 　　说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 例8 已知椭圆 及直线 ． 　　（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？ 　　（2）若直线被椭圆截得