17哈密顿函数守恒原理.ppt

* 第十七讲 哈密顿函数 本讲导读 广义动量守恒原理 哈密顿函数 非完整系统的动力学 拉格朗日动力学的推广 如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q?, 即?L/ ? q? =0, 这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标). 于是, 拉格朗日方程(5.29)给出 即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标, 拉格朗日函数不包含整体平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的, 广义动量守恒原理就归结为动量守恒原理. 若拉格朗日函数不包含整体转动坐标, 拉格朗日函数L对于整体转动不变, 拉格朗日函数是各向同性的, 则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理. 在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件(内力的矢量和为零, 内力的力矩和为零), 而广义动量守恒原理则并不以牛顿第三定律先决条件. 一、广义动量守恒原理 例1 质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 质量为m的光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下. 求这两个楔子的加速度. 解: 大楔子在水平方向运动, 小楔子在大楔子斜边上运动. 系统有两个自由度. 取桌面上的固定点O, 大楔子质心相对于O点坐标记作X. 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜边的坐标记作q, X和q可作为系统的广义坐标. 主动力是两个楔子所受的重力, 大楔子的势能在运动过程中不起变化, 可以不考虑. 只要讨论小楔子的势能就够了. 计算动能的时候要注意, 小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的, 而目还有随着大楔子在水平方向运动的速度. 于是, 拉格朗日方程给出运动方程 大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为 拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率 在主动力全是保守力的情况下, 利用完整系统的拉格朗日方程把?L/ ? q?改写, 即得 这样 二、哈密顿函数守恒原理 定义哈密顿函数 如拉格朗日函数L不是时间显函数, 哈密顿函数H守恒 哈密顿函数是什么？ 因为坐标变换不显含时间, 所以 于是 因为 这样, 我们得到 在坐标变换不显含时间的条件下, 动能是广义速度的二次齐次式, 哈密顿函数就是机械能. 如果约束是不稳定的或者约束是稳定的, 但变换ri＝ri(q,t) 显含时间, 广义速度二次函数T2 一次函数T1 零次函数T0 哈密顿函数, 这样, 在变换式显含时间的条件下, 哈密顿函数H并非机械能,只能姑名之为广义能量. 注意: 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力. 可是, 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间. 这两种根源是否矛盾呢? 原来, 这两者并不是一回事. 矢量力学所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力, 而拉格朗日函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力, 即只包括主动力, 不包括理想约束力. 可见这两种势能并不相同, 机械能守恒的条件当然也就不同了. 用拉格朗日方程求解完整系力学问题的一般程序： (a)分析系统所受的约束.如系统确为完整系, 就根据系统的自由度选择恰当的广义坐标. (b)建立各质点的矢径与广义坐标的变换方程. 为方便起见, 尽可能使变换方程不显含时间. 如果能直接完成下一步(c), 则此步骤可以省略. (c)用广义坐标和广义速度表示动能, 用广义坐标表示广义力. 对于保守系统, 写出广义坐标表示的势能. 最后写出系统的拉格朗日函数. 注意，这里的动能和势能一般是指惯性系中的动能和势能,若使用非惯性系, 则应加上与惯性力相应的势能. 它可能不是只依赖于广义坐标和时间, 而是和广义速度有关的广义势能. (d)列出拉格朗日方程. (e)利用初始条件解出拉格朗日方程. (f)分析结果. 例如，在匀速直线运动的汽车上有一谐振子在光滑水平槽中往返振动.取q轴沿振动方向, 原点在谐振子的平衡点. 选这汽车为参考系, 谐振子的 显然 所以H守恒. 另一方面，由于动能T是广义速度的二次单项式，所以H就是机械能．诚然， 改取地面为参考系,这也是惯性系.如果谐振子的振动槽平行于汽车行进方向，则 v0是汽车的速度. 因 所以H守恒.但动能T不是广义速度的二次齐次式，所以H不是机械能．事实上 如汽车是匀加速运动, 其速度为at, 仍以地面为参考系, 则 这时, 所以H不守恒. 另一方面, T 不是广义速度二次齐次式, 所以H也不是机械能. 事实上， 例2 试按“拉格朗日方式”研究单摆的运动. 解: 单摆有一个自由度. 取角坐标作为广义坐标. 主动力是重力mg, 是保守力. 系统的拉格朗日函数 拉格朗