1抽象代数导论Introduction.ppt

1.抽象代數導論(Introduction to Abstract Algebra)-2.張量分析(Tensor Analysis)-3.正交函數展開(Orthogonal Function Expansion) -4.格林函數(Green‘s Function)-5.變分法(Calculus of Variation)-6.積分方程式(Integral equations) Ex1 . Consider the operation defined on the set S= {1,2,3} by the operation table below. From the table, we see 2 (1 3)=2 3=2 but (2 1) 3=3 3=1 The associative law fails to hold in this groupoid(S, ) Ex2. Both the semigroups and are instances of monoids for each The empty set is the identity element for the union operation. for each The universal set is the identity element for the intersection operation. Ex4. consider the set of number and the operation of ordinary multiplication, and Z represents integer. Closure: Associate property Identity element Commutative property is a commutative monoid. Ex9. 設g是循環群G的一生成元素，那麼 當有正整數 使 時 對任意 均有 當對任意正整數 均有 此定理稱為循環群結構定理，對循環群的組成和運算有所了解 Ex10 ：The group G is abelian if (1) (2) (3) Proof. (1) (2) (3) 4.阿貝爾群(Abelian)或交換群：元素的乘積滿足交換律 兩個群之間的關係 1.同構(isomorphisms)： 兩個群之間保持運算的雙射，則稱這兩個群同構，而兩個同構的群可以看成是等價的。 2.同態(homomorphism)： 兩個群之間存在有保持運算的映射，則稱這兩個群是同態的， 而同態與同構的差別僅在群G到群G*之映射f的性質，當映射f為雙射，兩個群就是同構，否則兩個群就稱為同態。 同構是將兩個群加以比較最重要的觀念，顧名思義，同構就是構造相同， 群的構造就是群元素之間的一種關係。透過這種雙設，一個群的結構可以用另外一個群表現出來。同構的兩個群，抽象來看是相同的，不同的只是群元素的表示方式 定理1.(同態基本性質part1) show that if is a group homomorphism, the the following holds (1) (2) Proof (1) (2) 子群及其陪集 定義： 一個群G的子集H，如果對於G的乘法運算來說作成一個群，則稱H 是G的一個子群。 研究群的一般方法，可利用一個群的子集來推測整個群的性質 1.子群(subgroup) 定理2： 群G的一個非空子集H，作成G的一個子群的充分必要條件為： (i) (ii) 証明如下 Proof (1)充分性 若(i), (ii)成立，則H作成一個群。 由於有條件(i)，所以H對G的乘法運算是封閉的 結合律在G中成立，在H中自然成立 因為H是一個非空集合，所以H至少有一個元素a，由條件(ii),a-1也屬於H，由條件(i),