2010一轮复习---等差数列.doc

等差数列 一、考试说明： (二)等差数列1. 理解等差数列的概念。2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。 3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 4.了解等差数列与一次函数的关系。5.能利用等差数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。 项求和法：（）为等差数列； 主要方法： 涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量来处理； 若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元． 等差数列的相关性质: 等差数列中，，变式； 等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列． 等差数列中，若，则， 若，则 等差数列中，（其中） 两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． 若是公差为的等差数列,则其子列也是等差数列, 且公差为; 也是等差数列,且公差为 在项数为项的等差数列中，； 在项数为项的等差数列中． 等差数列中，也是一个等差数列，即点（）在一条直线上; 点（）在一条直线上. 两个等差数列与中,分别是它们的前项和,则. 四．典例解析 题型一：等差数列的概念及判断 例1：已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求证：数列{bn}是等差数列. 证明 ∵an+1-2=2-=∴===+∴-=， ∴bn+1-bn=.∴数列{bn}是等差数列. 例2．（2001天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B； 解法一：an=∴an=2n－1（n∈N） 又an+1－an=2为常数，≠常数∴{an}是等差数列，但不是等比数列. 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。 例3．（2006年江苏卷）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…） 证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：==-=0，∴（n=1,2,3,…）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,…）∴数列为等差数列。 充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,…）， ∵……① ∴……②①－②得：= ∵∴……③ 从而有……④④－③得：……⑤∵，，，∴由⑤得：（n=1,2,3,…），由此，不妨设（n=1,2,3,…），则（常数）故…⑥从而…⑦⑦－⑥得：，故（常数）（n=1,2,3,…），∴数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）。 ），若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列. 证明 由题意有a1+2a2+3a3+…+nan=bn， ①；从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=bn-1(n≥2),② 由①-②，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d为{bn}的公差(n≥2). 从而an+1-an=-==(n≥2).又a1=b1，a2= ∴a2-a1=-b1==.综上，an+1-an=d（n∈N*）.所以{an}是等差数列. 2、已知数列{an}中，a1=，an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*). (1)求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由. （1）证明 因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.所以当n≥2时，bn-bn-1=- =-=-=1.又b1==-.所以，数列{bn}是以-为首项，以1为公差的等差数列. （2）解 由（1）知，bn=n-,则an=1+=1+.设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间(-∞, )和(,+∞)内为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3. 3、（06上海）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. （1）若，求； （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围； （3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应作为特例）并进行研究，你能得出什么样的结论。 【解】1）. （2）， ， 当时，且. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差