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2010届高三数学一轮复习精讲精练:导数及其应用
第十章 导数及其应用
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数), 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有关问题要能自觉地运用导数.
第1课时 变化率与导数、导数的计算
1.导数的概念:函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ,即= = .
2.导函数:函数y=在区间(a, b)内 的导数都存在,就说在区间( a, b )内 ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做的 ,记作或,函数的导函数在时的函数值 ,就是在处的导数.
3.导数的几何意义:设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .
4.求导数的方法
(1) 八个基本求导公式
= ; = ;(n∈Q)
= , =
= , =
= , =
(2) 导数的四则运算
= =
= ,=
(3) 复合函数的导数
设在点x处可导,在点处可导,则复合函数在点x处可导, 且= ,即.
例1.求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解 ∵Δy=
变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.
解
例2. 求下列各函数的导数:
(1) (2)
(3) (4)
解 (1)∵
∴y′
(2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.
方法二 =
=(x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
(3)∵y=
∴
(4) ,
∴
变式训练2:求y=tanx的导数.
解 y′
例3. 已知曲线y=
(1)求曲线在x=2处的切线方程;
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
解 (1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点,
则切线的斜率k=|=.
∴切线方程为即
∵点P(2,4)在切线上,∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k= .
答案 2或
例4. 设函数 (a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(1)解 ,
于是解得或
因为a,bZ,故
(2)证明 在曲线上任取一点.
由知,过此点的切线方程为
.
令x=1,得,切线与直线x=1交点为.
令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为.
所以,所围三角形的面积为定值2.
变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.
解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1. ①
又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0. ②
∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴可得切点为(1,-1).
∴a+c+1=-1. ③
∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a
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