2010届高三数学一轮复习精讲精练:导数及其应用.doc

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2010届高三数学一轮复习精讲精练:导数及其应用

第十章 导数及其应用 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数), 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有关问题要能自觉地运用导数. 第1课时 变化率与导数、导数的计算 1.导数的概念:函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ,即= = . 2.导函数:函数y=在区间(a, b)内 的导数都存在,就说在区间( a, b )内 ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做的 ,记作或,函数的导函数在时的函数值 ,就是在处的导数. 3.导数的几何意义:设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 . 4.求导数的方法 (1) 八个基本求导公式 = ; = ;(n∈Q) = , = = , = = , = (2) 导数的四则运算 = = = ,= (3) 复合函数的导数 设在点x处可导,在点处可导,则复合函数在点x处可导, 且= ,即. 例1.求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解 ∵Δy= 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 解 例2. 求下列各函数的导数: (1) (2) (3) (4) 解 (1)∵ ∴y′ (2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11. 方法二 = =(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11. (3)∵y= ∴ (4) , ∴ 变式训练2:求y=tanx的导数. 解 y′ 例3. 已知曲线y= (1)求曲线在x=2处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4.  ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点, 则切线的斜率k=|=. ∴切线方程为即 ∵点P(2,4)在切线上,∴4= 即∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k= . 答案 2或 例4. 设函数 (a,b∈Z),曲线在点处的切线方程为y=3. (1)求的解析式; (2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值. (1)解 , 于是解得或 因为a,bZ,故 (2)证明 在曲线上任取一点. 由知,过此点的切线方程为 . 令x=1,得,切线与直线x=1交点为. 令y=x,得,切线与直线y=x的交点为. 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为. 所以,所围三角形的面积为定值2. 变式训练4:偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式. 解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1. ① 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0. ② ∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴可得切点为(1,-1). ∴a+c+1=-1. ③ ∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a

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