四边简支矩形薄板的双Hopf分岔分析-动力学与控制学报.PDF

第１５卷第２期２０１７年４月 动力 学 与控 制 学报 Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．２ １６７２６５５３／２０１７／１５ ／１０６４ Ａｐｒ．２０１７ ⑵ ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ 四边简支矩形薄板的双 Ｈｏｐｆ分岔分析 １ ２ 周艳 　张伟 （１．内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古　０１００２２）（２．北京工业大学 机电学院，北京　１００１２４） 摘要　基于奇异性理论，研究了主参数共振－１∶３内共振情形下参数激励与外激励联合作用下四边简支矩 形薄板的双Ｈｏｐｆ分岔问题．考虑弱阻尼和弱激励的情形，得到了四边简支矩形薄板的分岔方程，给出了四边 简支矩形薄板在参数平面  上的分岔图．对参数激励与外激励联合作用下四边简支矩形薄板的阻尼系 μσ１ 数、外激励、参数激励以及调谐参数进行不同的取值，通过数值模拟得到了四边简支矩形薄板平衡解将发生 Ｈｏｐｆ分岔，并分岔出周期解，薄板系统的非线性振动形式为周期运动．当四边简支矩形薄板的参数满足给定 条件时，我们得到薄板的１∶３共振双Ｈｏｐｆ分岔．随后，四边简支矩形薄板将会呈现概周期振动． 关键词　双Ｈｏｐｆ分岔　薄板　周期解　概周期解 ＤＯＩ：　１０．６０５２／１６７２６５５３２０１６０３５ 支撑圆形薄板的非线性振动响应． 引言 在文献［１２］的研究基础之上，本文主要研究 薄板广泛应用于航空航天等工程领域，近十几 了参数激励与外激励联合作用下四边简支矩形薄 年来，关于薄板的非线性振动、分岔等动力学问题 板的双Ｈｏｐｆ分岔问题．首先，利用多尺度法得到了 ［１］ 的研究取得了不少进展．Ｈａｄｉａｎ和 Ｎａｙｆｅｈ 利用 参数激励与外激励联合作用下四边简支矩形薄板 多尺度方法分析了非线性夹紧圆板混合内共振情 在主参数共振－１∶３内共振情形下两种不同坐标形 ［２］ 形下的非线性响应．Ｎａｙｆｅｈ和Ｖａｋａｋｉｓ 利用多尺 式的平均方程，得到了系统的分岔响应方程．然后 度方法分析了轴对称几何非线性薄圆板的亚谐移 利用奇异性理论分析了分岔响应方程的分岔特性． 动波 ［３］ ．Ｙａｎｇ和 Ｓｅｔｈｎａ 用平均法研究了参数激励 数值模拟给出了系统在一定条件下存在周期和概 正方形薄板的局部分岔和全局分岔，表明系统存在 周期运动． 异宿环和Ｓｍａｌｅ马蹄意义的混沌运动． ［４］ １　薄板的平均方程 随后，Ｆｅｎｇ和Ｓｅｔｈｎａ 利用全局摄动法进一步 研究了参数激励作用下薄板的分岔和混沌动力学， 考虑四边简支矩形薄板，边长是 ａ和ｂ，厚度 ［５］ Ａｂｅ等人 应用多尺度方法研究了简支矩形薄板 是ｈ，薄板受到横向激励和面内激励联合作用，所 的模态响应．Ｚｈａｎｇ等人［６－７］研究了参数激励和外 建立的直角坐标系如图１所示．坐标系Ｏｘｙ位于薄 激励联合作用下四边简支矩形薄板的全局分岔和 板的中面上，ｕ、ｖ和ｗ分别表示薄板中面上的一点 ［８］ 混沌动力学．Ａｗｒｅｊｃｅｗｉｃｚ等人 研究了在纵向随 在ｘ、ｙ和ｚ方向的位移，薄板面内的激励表示