2010高考复习〈〈立体几何〉〉解答题选编.doc

2010高考复习《立体几何》解答题选编 19.(本小题满分12分) 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形. (1)求证：点M为边BC的中点； (2)求点C到平面AMC1的距离； (3)求二面角M—AC1—C的大小. .(1)证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM⊥C1M，且AM＝C1M，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥底面ABC. ∴C1M在底面内的射影为CM，AM⊥CM. ∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点. 4分 (2)解：过点C作CH⊥MC1于H. 由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM， ∴AM⊥平面C1CM. ∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM. 由(1)知，AM＝C1M＝a，CM＝a且CC1⊥BC. ∴CC1＝. ∴CH＝. ∴点C到平面AMC1的距离为. 8分 (3)解：过点C作CI⊥AC1于I，连HI， ∵CH⊥平面C1AM，∴HI为CI在平面C1AM内的射影， ∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角. 在直角三角形ACC1中， CI=， sinCIH=， ∴∠CIH=45°，∴二面角M—AC1—C的大小为45°. 12分 如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求与平面所成的角的正切值； （Ⅲ）若，当为何值时，．(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以． 因为是一个长方体，所以，而，所以，所以．因为垂直于平面内的两条相交直线和，（） 由线面垂直的判定定理，可得．(Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．因为，所以，所以就是与平面所成的角因为，，所以．所以与平面所成的角的正切值为． (Ⅲ)解：当时，． 当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以．而，与在同一个平面内，所以． 而，所以，所以．中,∥,,。 ,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.。 (1)求证:平面;。 (2)当为何值时,∥平面?证明你的结论; (3)求二面角的平面角的余弦值. （Ⅰ）在梯形中，， 四边形是等腰梯形， 且 2分 又平面平面，交线为， 平面 4分 （Ⅱ）解法一、当时，平面， 5分 在梯形中，设，连接，则 6分 ，而， 7分 ，四边形是平行四边形， 8分 又平面，平面平面 9分 解法二：当时，平面， 由（Ⅰ）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分 则，，，， ， 平面， 平面与、共面， 也等价于存在实数、，使， 设.， 又，， 6分 从而要使得：成立， 需，解得 8分 当时，平面 9分 （Ⅲ）解法一、取中点，中点，连结，， 平面 又，，又， 是二面角的平面角. 6分 在中, ,. 7分 又. 8分 在中，由余弦定理得, 9分 即二面角的平面角的余弦值为. 解法二:由(Ⅰ)知,以点为原点，所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则,，， ，，过作, 垂足为. 令, , 由得,,,即 11分 , 二面角的大小就是向量与向量所夹的角. 12分 13分 即二面角的平面角的余弦值为. 14分 如图，在三棱拄中，侧面，已知 （1）求证：； （2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得； (3) 在（2）的条件下,求二面角的平面角的正切值. 证（1）因为侧面，故 在中， 由余弦定理有 故有 而 且平面 （2） 从而 且 故 不妨设 ，则，则 又 则 在中有 从而（舍负） 故为的中点时， （3）取的中点，的中点，的中点，的中点 连则，连则，连则 连则，且为矩形， 又 故为所求二面角的平面角 在中， （2）法二：以为原点为轴，设，则 由得 即 化简整理得 ， 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 （3）法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角 因为 故 如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点. （1）求证：平面；（2）求多面体