2010高考数学一轮复习——数列.doc

数列 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 第1课时 数列的概念 1．数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式 例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －，，－，…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ an＝(－1)n ⑵ an＝ （提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得 ⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为 ∴ 变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式： ① an＝[1＋(－1)n] ② an＝ ③ an＝ 其中可作为{an}的通项公式的是 （ ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解：D 例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项． ⑴ Sn＝3n－2 ⑵ Sn＝n2＋3n＋1 解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1 解得：an＝ ⑵ an＝ 变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ． 解：当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝ 例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) ⑵ a1＝1，an＝ (n≥2) ⑶ a1＝1，an＝ (n≥2) 解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1． ⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝． (3)∵ ∴an＝ 变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由an＋1＝得 ，∴{}是以为首项，为公差的等差数列． ∴＝1＋(n－1)·,即an＝ 方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式． 解： 得 变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）． (1) 证明数列{an＋1}是等比数列； (2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)． 解：(1) 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴ n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得： Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1 从而an＋1＋1＝2(an＋1) 当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴ a1＋a2＝2a1＋6, 又a1＝5