21－第21讲泰勒中值定理.ppt

其中, 的奇数阶导数为零, 故一般将 展至奇数项, 以提高精度. 实际应用中, 计算 的近似值时, 均展开到 2m 阶马克劳林公式, 即有 它们的误差估计式均为 请自己算一下 解 例4 为什么只要二阶？ 解 例5 误差为 不难 ！ 该式中等号成立. 由泰勒 (马克劳林) 公式 综上所述, 即得所证. 例6 证 例7 解 三次多项式 * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十讲 泰勒中值定理 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中 第四章 一元函数的导数与微分 本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第七节 泰勒中值定理 第四章 一元函数的导数与微分 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 三.泰勒公式的几何应用 泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生： 微 分 带皮亚诺余项的 泰勒公式 拉格朗日中值定理 泰勒公式 带拉格朗日余项的 泰勒公式 还有带其它余项的 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的马克劳林公式 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 如果我们希望提高精度, 应怎么办? 由极限知识可知, 此时应有 我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要 补充什么条件. 运用罗必达法则, 得 该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式. 运用罗必达法则计算极限. 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式. 仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶 泰勒公式. 则在该邻域内有 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的马克劳林公式 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 定理条件 称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 设带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为 想一想, 如何求出这里的待定函数. 与带皮亚诺余项的一阶泰勒公式比较, 此时应有 设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为 与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较, 此时应有 仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的 n 阶 泰勒公式. 带皮亚诺余项的泰勒公式 则在该邻域内有 带拉格朗日余项的泰勒公式 e 的近似计算公式 估计误差 解 例1 解 例2 泰勒公式 其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关. 其中, 的偶数阶导数为零, 故一般将 展至偶数项, 以提高精度. 泰勒公式 解 例3 其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关.