251 平面向量应用举例.ppt

2.5.1 平面向量应用举例 1.平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 2.向量在物理中的应用举例 * * * 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题 充分利用向量这个工具来解决 A B C D 猜想： 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？ 例1 A B D C 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 结论：平行四边形两条对角线的平方和等于邻边平方和的两倍 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形 (用基底表示) (向量运算) (翻译几何结果) A B C O 练习：用向量方法证明直径上的圆周角是直角 用基底表示 向量运算 翻译几何结果 例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ A B C D E F R T 猜想： AR=RT=TC 由于 与 共线，故设 解：设 则 因为 所以 又因为 共线， 所以设 A B C D E F R T 不共线， 故AT=RT=TC A B C D E F R T 点M为BC的中点，点N在 边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交 于点P，你能发现AP与PM的大小关系 吗？为什么？ B C A M N P (用向量方法证明) （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形 (用基底表示) (向量运算) (翻译几何结果) 情境1:一个人静止地双手垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系? 情境2：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力? 实例一：提重物问题（力的合成与分解）． 　　用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系？ 问题: θ F1 F2 建立数学模型: （1） θ逐渐增大时， |F1|如何变化？ （2） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？ （3） |F1|能等于|G|吗？为什么？ （4）如果绳子的最大承受力恰与重物G的 重量相等 ，θ在什么范围内，绳子才不会断？ C B O A D 探求|F1|与夹角θ之间的关系 （5）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 N ， θ在什么范围内，绳子才不会断？ 3 情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力? 夹角越小越省力 两臂的夹角越小,手臂就越省力 回归问题: 情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力? 实例二：轮船过河问题（速度的合成与分解）。 已知船在静水中的速度的大小是 , 水流速度的大小是 . ,河的宽度是d=500m *