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251 平面向量应用举例
2.5.1 平面向量应用举例 1.平面几何中的向量方法 向量概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗? 2.向量在物理中的应用举例 * * * 研究对象: 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题 充分利用向量这个工具来解决 A B C D 猜想: 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系? 2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗? 例1 A B D C 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 其它线段对应向 量用它们表示。 结论:平行四边形两条对角线的平方和等于邻边平方和的两倍 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗? (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形 (用基底表示) (向量运算) (翻译几何结果) A B C O 练习:用向量方法证明直径上的圆周角是直角 用基底表示 向量运算 翻译几何结果 例2 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗? A B C D E F R T 猜想: AR=RT=TC 由于 与 共线,故设 解:设 则 因为 所以 又因为 共线, 所以设 A B C D E F R T 不共线, 故AT=RT=TC A B C D E F R T 点M为BC的中点,点N在 边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交 于点P,你能发现AP与PM的大小关系 吗?为什么? B C A M N P (用向量方法证明) (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形 (用基底表示) (向量运算) (翻译几何结果) 情境1:一个人静止地双手垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系? 情境2:两人一起提一个重物时,怎样提它最省力? 实例一:提重物问题(力的合成与分解). 用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角θ的关系? 问题: θ F1 F2 建立数学模型: (1) θ逐渐增大时, |F1|如何变化? (2) θ为何值时, |F1|最小,最小值是多少? (3) |F1|能等于|G|吗?为什么? (4)如果绳子的最大承受力恰与重物G的 重量相等 ,θ在什么范围内,绳子才不会断? C B O A D 探求|F1|与夹角θ之间的关系 (5)如果绳子的最大承受力为200N,G=200 N , θ在什么范围内,绳子才不会断? 3 情景1:两人一起提一个重物时,怎样提它最省力? 夹角越小越省力 两臂的夹角越小,手臂就越省力 回归问题: 情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力? 实例二:轮船过河问题(速度的合成与分解)。 已知船在静水中的速度的大小是 , 水流速度的大小是 . ,河的宽度是d=500m *
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