外力功和应变能.PPT

东南大学远程教育 材 料 力 学 第二十一讲 主讲教师：马军 第八章　能量方法 利用功和能的概念来求解可变形固体的 位移、变形和内力等的方法，通称为能 量方法。 第一节　虚位移原理及单位力方法 一．虚位移原理 对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的 虚位移所作的总虚功等于零，即 分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功 外力指的是荷载和支座反力，内力则为截面上各部分间的相 互作用力 以一简支梁为例，来说明推导梁的虚位移原理的表达式 下图所示简支梁上的外力荷载 和支座反力 。在给梁任意一个虚位移时，所有荷载作用点均有沿 其作用方向的相应虚位移 （图上未绘出）。两支座 A、B则不可能有虚位移，否则就与支座约束条件不符。因此， 梁上所有外力（包括荷载和支反力）对于虚位移所作的虚功为 第一节　虚位移原理及单位力方法 再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功，从梁中取出任一微段dx来 研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为Q、Q+dQ和弯矩 M、M+dM。总虚功为 略去高阶无穷小项 和 ，即得 第一节　虚位移原理及单位力方法 作用在微段左、右两截面上的M和Q，对于该微段而言应看作是 外力，所以， 为该微段的外力虚功，而该微段 的内力所作的虚功 ，则可按该微段的外力虚功，而该微段 的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得，即 可得 则整个梁的内力虚功为 将上两式代入虚位移原理公式，即得 第一节　虚位移原理及单位力方法 亦即 若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁，而是发生组合变形的梁， 其任意截面上的内力不仅有弯矩M和剪力Q，而且还有轴力N和扭 矩T，作用在杆上的荷载为 ，则此杆件的虚位 移原理表达式为 第一节　虚位移原理及单位力方法 第一节　虚位移原理及单位力方法 虚位移原理应用条件 外力 与内力 满足静力平衡条件 设想的虚位移 是满足原结构几何约束条件之任意微小位移， 它与原载荷引起之真实变形无关 上述分析过程中为涉及材料性质（物理性质），对其他非线弹 性问题同样适用 第一节　虚位移原理及单位力方法 二．单位力方法 对于杆系结构，既然如前所述只要满足支座约束条件，及各微段 间变形连续条件的任何微小位移，均可作杆件的虚位移，那么可 把实载作用下之真实位移及各微段两端的真实相对位移当作虚位 移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或 转向的位移 ，就可以在该点处施加一个相应的单位力，将之视 为荷载，而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为 。则杆件的虚位移原理表达式为 对于线弹性，在所研究的杆件中，由实际荷载引起的长为dx的微段 两端横截面的变形位移分别为 第一节　虚位移原理及单位力方法 则上式变为 说明：①上式中右端一般只有几项，并不定全部包括 ②单位力是一个广义力 ③符号方面的规定 ④对平面行架只有轴力 第一节　虚位移原理及单位力方法 东南大学远程教育 材 料 力 学 第二十二讲 主讲教师：马军 令拉杆的截面积为A，则拉杆的应变能U在数值上等于作用在杆端的力P在加载过程中所作的功W（外力功），其表达式为 为了介绍应变能和余能的概念，以拉伸杆为例 第二节　应变能酚嗄? 又 则 一．应变能 再从另一角度来推导，外力功和应变能，从拉杆中取一各边为单位 长的单元体，则在拉杆的加载过程中，该单元体上外力所做的功为： 根据功能原理 设单元体各边长分别为dx、dy、dz，则在加载 过程中，该单元体内所积蓄的应变能为 令dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为 第二节　应变能酚嗄? 再根据虎克定律，得同样的结果 同理可得圆轴在扭转时及梁在纯弯曲时的应变能表达式 和 梁在横力弯曲时与剪切变形相应的应变能 第二节　应变能酚嗄? 再进一步考虑，设拉杆的材料是非线性的，以拉杆为例，杆端位移与施加在杆端的外力P之间的关系如图所示 同样可从应力应变关系来推导外力 功和应变能，从拉杆中取一单元体， 在加载过程中，单元体上外力作的 功及相应的应变能为 第二节　应变能酚嗄? 设单元体各边长分别为dx、dy、dz，则在加载 过程中，该单元体内所积蓄的应变能为 令dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为 同理可得，梁和圆轴的单位应变能 第二节　应变能酚嗄? 当外力从0增