梯形公式的误差-Read.PPT

* 第5章 数值积分 5.1 牛顿-柯特斯求积公式 5.2 复合求积公式及其误差 5.3 龙贝格求积法 } 引言 } 引言 本章的问题： 计算定积分∫abf(x)dx的近似值。 必要性: 如果f(x)的原函数是F(x)，则 等. 实际问题中常有些被积函数没有表达式,而只是通过观测得到一些离散的数据点,比如求一条河道的某个截面积,这样的定积分只能用近似计算方法. （牛顿-莱布尼兹公式） 但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用,如 5.1 牛顿-柯特斯求积公式 } 5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造 5.1.2 求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线公式的误差估计 } 5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造 建立数值积分公式的基本思想： 选取一个简单的函数φ(x)近似代替f(x)，得 牛顿-柯特斯的思想：选取φ(x) 为插值多项式Pn(x)，推导出实用的数值积分公式。 再推导出简便实用的计算公式，称为数值积分公式。 } 在[a, b]作等距的插值基点 a=x0x1……xn=b ， 令 } 由 积分作代换x= a+sh, 则 推导具体计算公式 dx=hds, 当x=a时 s=0， 当x=b时 x=n， x–xj=(s–j )h, =i(i-1)…1(-1)(-2)…(-(n-i)) hn = (-1)n-I i! (n-i)! hn } 由 略去余项得牛顿－柯特斯求积公式 称为柯特斯求积系数 n ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1/2 1/2 ? ? ? ? ? ? ? 2 1/6 4/6 1/6 ? ? ? ? ? ? 3 1/8 3/8 3/8 1/8 ? ? ? ? ? 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 ? ? ? ? 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288 ? ? ? 6 41/840 9/35 9/280 34/105 9/280 9/35 41/840 ? ? 7 751/17280 3577/17280 1323/17280 2989/17280 2989/17280 1323/17280 3577/17280 751/17280 ? 8 989/ 28350 5888/ 28350 -928/ 28350 10496/ 28350 -4540/ 28350 10496/ 28350 -928/ 28350 5888/ 28350 989/ 28350 } 柯特斯求积系数表： 例如：n=2时，有 n=3时，有 } 柯特斯系数的性质： (2) 系数有对称性。 (3) 当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。 (1) 理由：取f(x)≡1，则 f(n+1)(x)≡0, Rn(f)≡0，于是 } 梯形公式. 当n=1时, 有 牛顿－柯特斯求积公式 此公式来源于 舍去余项的结果， 相当于用直线P1(x)代替f(x)计算积分。 } 抛物线公式 牛顿－柯特斯求积公式当n=2时有 此公式来源于 舍去余项的结果， 相当于用抛物线P2(x)代替f(x)计算积分。 } } } 例 用n=1,2,3,4的牛顿－柯特斯求积公式计算下面定积分的近似值: 解 当n=1, 当n=2, 当n=4, 当n=3, （梯形公式） （抛物线公式） 0.83333 .5 0.666667 1 0.5 0.625 0.75 0.875 1 } } 5.1.2 求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线公式的误差估计 的求积公式，如当 f(x)是 1,x,x2,…, xm 时成为准确的等式，但当f(x)= xm+1时，求积公式不能准确成立，则称求积公式的代数精确度（简称代数精度）为m。 定义 对一个形如 （Ai与f(x)无关） 牛顿－柯特斯求积公式具有上面的形式，且余项为 } 定理 5.1 牛顿－柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。而且当n是偶数时，公式的代数精确度可达到n+1。 证明 当 f(x)是 1,x,x2,…, xm 时， 求积公式成为准确的等式。因此牛顿－柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。 （其余证明略） 定理 5.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差可表达为