第六章留数理论及其应用 复变函数论 教学课件.ppt

儒歇定理证明续 z?C， |f(z)||g(z)| C y x 0 z平面 v u 0 w平面 记 1 2 |w-1|=1 即C在 的像都落在w平面 的圆|w-1|=1内部 或C的像不绕w平面的原点w=0 所以 儒歇定理注解 ⑴应用此定理时，只要估计和式在区域边界上模的值。 组成和的两函数中,在边界上模大的函数零点数为和式函数的零点数。 ⑵用于解决函数零点个数和分布问题。 ⑶f(z)及g(z)选择的除满足定理中的条件外，还应保证f(z)的零点个数好计算。 并注意： ⑷辐角原理也可求零点的个数，但儒歇定理更简单方便。 注意，儒歇定理只是充分条件,而辐角原理为充分必要条件。 ①不要忽略重根； ②多项式,特别是整数次幂函数的应用； ③常数的应用； ④零点阶的应用。 例(P267例6.24) 如果|a|e，求证方程ez=azn在单位圆|z|1内有n个根。 证 显然azn在单位圆|z|1内有n个零点——z=0为n阶零点 所以取 在边界|z|=1上，z=cosθ+isinθ 由儒歇定理azn-ez在|z|1内的零点的个数与azn相同，即n个， 因此方程 在单位圆|z|1内有n个根。 例(P268例6.26) 证明方程z7-z3+12=0的根在圆环：1|z|2内。 证 显然只要证明：方程在|z|2内有7根，在|z|1内无根。 在|z|1内,边界: |z|=1,12 所以，方程在|z|1内无根 在|z|2内,边界: |z|=2, |z7|=27=128 z7在|z|2内以z=0为7阶零点, 所以，方程在|z|7内有7个根 |z7-z3| |z7|+|-z3|≥ 1+1= 12在|z|1内无零点, |-z3|+12≥|-z3+12| 23+12= 例(P266例6.23) p(z)=a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+at zn-t+at+1zn-t-1 …+an(a0≠0)， 满足：|at||a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1| …+|an| 则p(z)在|z|1内有n-t个零点。 证 显然at zn-t在单位圆|z|1内有n-t个零点——z=0为n-t阶零点 所以取f(z)= at zn-t， g(z)=a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1 …+an 在边界|z|=1上 |f(z)|=|at zn-t|=|at| |g(z)|=|a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1 …+an| ≤|a0|?|zn|+|a1|?|zn-1|+…+|at-1|?|zn-t+1|+|at+1|?|zn-t-1|+…+|an| =|a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1| …+|an| 所以|f(z)|=|at||a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1| …+|an|≥|g(z)| 由儒歇定理f(z)+g(z)=p(z)在|z|1内的零点的个数 与f(z)=atzn-t相同，即n-t个 ⑴可直接利用此例的结论判断一元高次方程在单位圆内的根的个数。 如方程： 在|z|1内根的个数5个 z7-5z4+z2-2=0 z4-5z+1=0 z6+6z+10=0 ⑵结论可推广到一般的圆内，只需将一般的圆平移压缩为圆心在原点的单位圆，即可。 用儒歇定理可证明单叶解析函数的一个重要性质： 定理6.11 单叶解析函数的导数非零。 逆不成立， 而这个函数在整个z平面上不是单叶的。 例(P266例6.23)的注释 51+2+1=4, 4 1 0 例如w=ez的导数在z平面上任意一点不为零， 留数计算：(一) 1，2，3 ，(二) 1(1,2,3)，2，3，4，5 R(sinx,cosx)： (一) 4， (二) 1(4)，6 P/Q： (一) 5(1,2)， P/Qeimx： (一) 5(3,4)， (二) 1(5) 有奇点： (一) 6， P/Qlnx： (一) 8， 根式： (一) 7，9 辐角原理 ： (一) 12，13 (二) 7，8 儒歇定理： (一) 10，11，14 (二) 9，10，11，12，13，14，15，16 作业 小 结 留数的概念 柯西积分定理 求积分 复积分 实积分 一阶 二阶 其它 零点、极点及对数留数 幅角原理 儒歇定理 留数的求法 c-1 极点 留数定理 积分路径上有奇点的积分 方程根的