第十章非欧几何诞生.ppt

10、痛苦的分娩——几何学的革命 关于第五公设的思考 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 非欧几何学 黎曼对非欧几何的贡献 微分几何 平面曲线理论17世纪基本完成 微分几何 18世纪的空间曲线、曲面理论 微分几何 欧几里得几何 欧氏几何及其平行公设 公设一：过不同两点可连一直线 公设二：直线可无限地延长 公设三：以任意一点为中心和任一线段之长为半径可作一圆 公设四：所有直角均相等 公设五：一平面上两条直线被另一直线所截，若截线一侧的两内角和小于两个直角，则此二直线必在这一侧相交 10.1 关于第五公设的思考 平行公理的研究(公元前3世纪至1800年) 10.1 关于第五公设的思考 从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功． 第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊数学家托勒密，他依赖如下假设： “过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行.”（普莱菲尔公设， 1795年以后的《几何原本》版本） 中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也曾尝试过对第五公设的证明 19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年，雅典柏拉图学园晚期的导师，在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注)、萨凯里(意， Saccheri，1667—1733)、克吕格尔(德, Klügel，1739--1812) 、兰伯特（德，Lambert,1728—1777） 、普莱菲尔(苏格兰，Playfair，1748—1819) 、勒让德(法, 1752-1833) 、施魏卡特（普鲁士，Schwcikart，1780-1959）和托里努斯（普鲁士，Taurinus，1794-1874）等等． 代表人物：萨凯里、兰伯特 萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。 萨凯里的错误在于把有限图形的性质扩大到无限图形，以为在有限远处不成立的东西在无限远处也不成立。 萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾 萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确，以至于走到伟大发现的门前而却步 克吕格尔的工作 1763年, 克吕格尔 在其博士论文中指出：(1)公理的实质在于经验，而并非不证自明，人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，他只得到似乎异于经验的结果。 兰伯特的工作 施魏卡特（普鲁士，Schwcikart，1780-1959）1816年写了一份备忘录，认为应该承认存在着两类几何：欧氏几何与假设三角形内角之和不足两直角的几何（他称其为星空几何） 在施魏卡特的指导下，外甥托里努斯（Taurinus，1794-1874）继续研究星空几何，得到只有欧氏几何对物质空间是正确的，而星空几何只是逻辑上相容 施魏卡特和托里努斯都踏进了非欧几何的大门，但由于他们不能对这种几何的广阔前景和现实应用作出合理的联想，在无人支持的困境中，放弃了对星空几何的研究，最终半途而废 10.2 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 非欧几何的诞生，有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的下一步. 而决定性的一步，应归功于高斯、波尔约和罗巴切夫斯基三人 10.2 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 高斯（C.F.Gauss,1777-1855），德国数学家、物理学家和天文学家 出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。 在成长过程中，幼年的高斯主要依靠母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich） 罗捷雅希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中 7岁上学。1787年高斯10岁数学，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner） 据对高斯素有研究的著名数学史家贝尔（T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题： 81297+81495+81693+…+100899 布特纳“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，一起学习，互相帮助，由此开始了真正的数学研究 1788年，11岁的高斯进入了文科学校，功课都极好，古典文学、数学尤为突出 经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯，提出作高斯的资助人 1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳