等于K个小图形重叠部分的面积。.ppt

等积变形中的面积重叠问题 首都师范大学数学科学学院(100048) 周春荔 在图形问题中,已知图形面积经常出现重叠部分,巧妙地运用面积重叠部分,对我们解题是有益的，并往往产生妙趣横生、引人入胜的效果。 （I）两个面积相等的图形叠放在一起，则这两个图形在重叠之外的部分的面积相等。 （I）的图示 覆盖中有重叠，数量关系有趣 （II）设k个小图形面积之和为S，将这k个小图形放入一个面积恰为S的大图形内（这k个小图形没有同时3个重叠的部分），则在面积为S的大图形内未被盖住部分面积之和，等于k个小图形重叠部分的面积。 例1. △ABC的面积为1,中线BM, CN相交于G. 求△BGC的面积. 注意看图！ 陈省身爷爷说：数学好玩！ 解: △ABM与△CAN的面积都等于0.5. 其面积和等于△ABC的面积1. 因此，没盖住的△BCG 的面积就等于重叠部分ANGM的面积. 连接AG，设△AGN面积为x, △AGM面积为y. 则 于是得x+y=1/3。 即ANGM的面积等于1/3，也就是△BGC的面积等于1/3. 仰望天空，脚踏实地。 例2. 如图梯形ABCD 中，AB//DC.绿色三角形的面积是14平方厘米，红色部分的面积是29.5平方厘米。问：黄色三角形的面积是多少平方厘米？ 答：黄色三角形的面积是15.5平方厘米。 看图： 答：涂红色两块图形的面积大。 例3.右图所示为一个长方 形. AE:ED=9:5, BF:FC=7:4. 问：涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大? 请说明理由. 美丽花瓣中的数学问题 例4. 右图是一个对称的图形（由分别与一个大圆相切的四个共点的小的等圆组成），问黑色部分面积大还是阴影部分面积大？ 答：一样大。 理由：因为是对称图形，四个小圆半径相等，且恰好是大圆半径的一半。这样，每个小圆面积等于大圆面积的1/4，四个小圆面积之和正好等于大圆面积。 阴影部分是四个小圆相重迭的部分，而黑色部份则是由于重迭而空余出来的部分，所以这两部份面积相等。 数学思维是美妙的 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的3/4是草地；圆的6/7是竹林；竹林比草地多占地450平方米.问：水池占地多少平方米? 答：水池占地150平方米。 解：把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积便是3个单位，而竹林面积是6个单位。（这是由于把正方形面积分作4等分时，草地占3份而水池占l份；同理，把圆面积分成7等份时，竹林占6份而水池占1份）。从而竹林比草地多出的面积，是6－3＝3个单位。3个单位的面积是450平方米，可见1个单位的面积是450÷3＝150平方米，这就回答了题中所问的问题。 六角形的花瓣，美妙的思维，简洁的答案 例6．如图所示, 在面积为S平方厘米的圆O中, 有一个内接的正六边形ABCDEF,其面积为S0。阴影部分是以该正六边形的3个顶点B、D、F为圆心，正六边形边长为半径的圆弧围成，求阴影部分的面积等于多少平方厘米? 想一想，你观察到其中的奥妙了吗？ 提示：分别以B、D、F为圆心，正六边形边长为半径的圆扇形，其面积都是圆O面积的1/3。三个扇形总面积等于圆O的面积S，并且重叠覆盖在圆O内部。阴影花瓣为重叠部分，面积为S0的六边形外的六个弓形是未被盖住的部分。根据面积重叠原理Ⅱ，阴影花瓣部分的面积等于S-S0平方厘米。 想一想，试变条件作推广。 思考：如图所示, 在面积为 S平方厘米的圆O中,有一个内 接的正六边形ABCDEF,其面 积为S0。阴影部分是以该正 六边形的6个顶点为圆心，正 六边形边长为半径的圆弧围 成，求阴影部分的面积等于多 少平方厘米? （答: 等于2S-2S0平方厘米）。 例7．点E和F分别是正方形ABCD的边BC和CD的中点。线段AE和BF交于点K。问三角形AKF与四边形KECF的面积哪个大？ 答：三角形AKF的面积大。 提示：△PBM、△QMN、△RNC面积之和与长方形EBCF的面积相等，都等于60平方厘米。所以没重叠的部分面积相等。易知等于15平方厘米。 例8. 长方形ABCD的面 积为120平方厘米.EF是一 组对边AB、CD的中点连 线. M、N是BC边上两点， P、Q、R为AD边上的点。 试求图中4块阴影面积的总 和是多少平方厘米？ 例9．如图所示长方形ABCD的面积为120平方厘米. 四边形OEFG的面积是9平方厘米。试求图中3块阴影图形的总面积。 提示：△AFC、△DBF面积之和为60平方厘米. 中间有重叠部分四边形OEFG的面