算术型亚式期权的对冲策略.doc

Ξ 算术型亚式期权的对冲策略 杨昌凡 (湖南湘西民族广播电视大学 ,中国 吉首 416000) 摘 要 : 基于文1 关于 Banach 空间 D1 ,1 上梯度算子 D 的一个性质 ,运用推广的 Clark 公式 ,对由算术平均确 定的亚式期权给出了套期保值策略的计算途径. 关键词 : 空间 D1 ,1 上梯度算子 ; Clark 公式 ;算术亚式期权 ;套期保值策略 中图分类号 : O211. 63 文献标识码 : A 文章编号 : 100022537 (2003) 0320027205 The He dging Strat e of Arit hmetic Asia n Optio n s YON G Chang2f an (Broadcast and Television University in Hunan , the Western Region of Hunan Province , Jishou 416000 , China) Abstract : This paper establishes one property of the gradient operator on Banafch space D1 ,1 . By using it and a generalized Clark formula , we provide a hedging stategy for the arithmetic Asian Option. Key words : gradient operator on D1 ,1 ; Clark formula ; arithmetic asian option ; a hedging strategy 在数理金融中 ,期权的定价???其套期保值策略的构造具有重要的地位 ,对于定价已有许多结果1 ,但很 少涉及具体构造套期保值策略. 这一方面是因为套期保值策略的构造以已知定价为前提 ;另一方面是因为套 期保值策略的构造一般比较困难. 亚式期权交易普遍 ,它的权益依赖于标的资产在某段时间内的平均价格 , 投机者没有可能在接近到期日 ,通过操纵标的资产价格 ,随意改变期权权益 ,在一定程度上避免了期权价格 的人为波动. 亚式期权有算术平均 、几何平均两种形式 ,我们称由算术 (几何) 平均确定的亚式期权为算术 (几 何) 型亚式期权. 因为一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布 ,而相应算术平均没有可以 解析处理的特性 ,故算术型亚式期权比几何型亚式期权的定价及套期保值策略的构造要困难得多. 对几何型 亚式期权 ,我们已得到它的定价及其套期保值策略的 ( 显式) 解析解 ,但算术型亚式期权很可能不存在这种 (显式) 解析解3 . 然而 ,实际中常见的是算术型亚式期权 ,几何型亚式期权相对较少. 因此 ,算术型亚式期权 的定价问题引起许多数理金融学家的注意 ,已有不少的近似解2 ～4 ,但至今没有解析解 ,构造套期保值策略 更困难 ,迄今还没有发现这方面的研究结果. 本文基于文1 关于 Banach 空间 D1 ,1 上梯度算子 D 的一个性 质 ,运用推广的 Clark 公式 ,对算术型亚式期权 ,给出了套期保值策略的计算途径 ,该计算途径将套期保值策 略的计算转变为一个简单的偏微分方程的求解. 1 模型及基本引理 设市场上有两种资产 ,一种为具有固定利率 r 的无风险债券 ; 另一种为风险资产 ( 股票) ,假设 t 时价格 s ( t) 满足  d s ( t ) = μs ( t ) d t + σs ( t ) d w ( t ) , s (0) = s0 ,0 ≤ t ≤ T , (1) 由 Girsanov 变换 ,不失一般性取 μ = r ,于是 (1) 式可等价地写成 2 s ( t ) = s0 exp {σw ( t ) - σ tΠ2 + rt } ,0 ≤ t ≤ T , (2) 其中过程 W = ( w ( t) ) 是空间 (Ω , F , P) 上的一维标准布朗运动 ,常数 r ,σ, T 均大于 0. 记投资者 t 时财富为 v ( t ) ,初始值 v (0) = v0 , t 时持有股票市值为π( t ) ,设投资是自融资的 ,因而持有债 券市值为 v ( t ) - π( t ) ,于是财富过程 V = ( v ( t ) ) 满足 d v ( t ) = rv ( t ) dt +π( t )σd w ( t ) , v (0) = v0 ,0 ≤ t ≤ T , (3) 或写成积分形式 ∫ t v ( t) e