线性算子半群的新的生成定理.docx

1996 年 8 月JOU RN A L O F X I’A N J IA O TON G U N IV ER S IT YA u g. 1996线性算子半群的新的生成定理彭济根梁昔明(西安交通大学, 710049, 西安)摘要证明了一个连续函数 F ( Κ) 成为某个函数 f ( t) 的L ap lace 变换的一个新的充要条件, 从而得到了不同于 H ille2Yo sida 定理的算子半群生成定理.关键词: L ap lace 变换 C 0 半群n 次积分半群 C 半群中国图书资料分类法分类号: O 175引言0L ap lace 变换理论在线性系统理论中起着非常重要的作用. 给定一个函数, 它在什么条件下可成为另一个函数的L ap lace 变换, 这是广为关注的一个焦点问题. 1934 年, W idde r1刻划了数值函数的L ap lace 变换的特征: 函数 F ∈C ∞ ( 0, ∞) 可成为 f ∈L ∞ ( 0, ∞) 的L ap lace 变换的充分必要条件是如下增长假设成立sup {I 1 Κn+ 1 F (n) (Κ) I: Κ 0, n ∈N ∪ {0}} ∞(W ∞)n !对于向量值函数, 1987 年, A ren d t 2 对W idde r 定理作了如下积分形式的推广: 设 E 为B an ach 空间, F ∈C ∞ ( (0, ∞) , E ) , 则W idde r 增长假设 (W ∞) 成立当且仅当存在函数 Α( t) : 0,∞]→E , Α(0) = 0, ‖Α( t+ h ) - Α( t) ‖≤M ·h ( t≥0, h ≥0) , 使得∞∞F (Κ) = ∫0 ed Α( t) = ∫Κ 0 eΑ( t) d t- Κt- ΚtΚ 0同时, 利用这种形式的推广, A ren d t 揭示了半群理论中的 H ille2Yo sida 定理与W idde r 定理的本质关系.但是, 值得提出的是, W idde r 增长假设 (W ∞) 作为 L ap lace 变换的特征, 不仅涉及到函数 F 本身的性质, 而且还涉及到 F 的任意次导函数的性质, 这在实际应用中增加了验证条件的 难度. 本文定理 1 指出, 一个函数 F 能否成为某函数的L ap lace 变换直接可由 F 的本身性质反 映出来, 而不必考察它的导函数.收到日期: 1993206215.彭济根: 男, 1967 年 6 月生, 理学院信息与系统科学研究所, 博士生.第 8 期彭济根等: 线性算子半群的新的生成定理121在算子半群理论中, 一个线性算子 A 能否生成某类算子半群 (C 0 半群, C 半群, n 次积分半群) 直接与 A 的预解算子 R (Κ, A ) ( Κ- A ) - 1 的 L ap lace 表示有关.§2 得到了区别于 H ille2Yo sida 型定理的各类算子半群的生成定理.利用文中§1 的结果,L ap lace 变换的特征1定理 1设 F ∈C ∞ (0, ∞) , 则 F 是某个函数 f ∈L ∞ (0, ∞) 的L ap lace 变换, 即∞F (Κ) = ∫0 ef ( t) d t- ΚtΚ 0的充分必要条件是: 存在常数M 0, 使I ΚF (Κ) I ≤M (Κ 0) , 且∞j - 1 sup {I ∑ (-1)M{en j ΚF (Κj ) I: Κ 0,(P ∞)n ∈N } ∞( j - 1) !j = 1证明N , Κ 0, 则(1) 必要性设M = e sssup {I f ( t) I: t∈ ( 0, ∞) }, 则I ΚF ( Κ) I ≤M ( Π Κ 0). 设 n ∈∞∞j - 1j - 1∞∑ (-1)∑ (- 1)∫0en j ΚF (Κj ) =en j Κe- Κj tf( t) d t =( j -1) !( j -1) !j = 1j = 1∞∞1) j - 1(-∫Κ 0 ∑ ( j - 1) ! e- Κj tn j ef ( t) d t =j = 1∞∫Κ 0 exp (-n- Κt n- Κte) ef ( t) d t =∞ Κ∫0 exp (-n- tn- te) ef ( t ) d t∞j - 1∞I ∑ (- 1)∫0en j ΚF (Κj ) I ≤M exp (-en- t ) en- td t ≤ 2M于是( j -1) !j = 1∞1) j - 1(-设 f n ( t) = ∑ n nj∞( 2) 充分性en j ·F