线性空间和线性变换.doc

故 , 令 ，则P可逆，且， 所以为正定矩阵. 例28(1999.Ⅲ) 设A为实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵， 试证：当时，矩阵B为正定矩阵. 证 因为 ， 所以B为n阶实对称矩阵， 且对任意的实n维向量，有 当时，有 ， 于是当时，， 所以B为正定矩阵. 例29(1999.Ⅰ) 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为实矩阵，为B的转置矩阵， 试证：为正定矩阵的充分必要条件是R(B)=n. 证 必要性 设为正定矩阵，则对任意的实n维列向量，有 ，即. 于是当时，有， 因此齐次线性方程组B=只有零解，故. 充分性 因为， 所以为实对称矩阵， 若R(B)=n，则B=只有零解，从