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初一数学竞赛系列讲座(10) 　应用题（二） 一、知识要点 1、工程类问题 工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率(工作时间=工作总量 解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题 溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。 溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。 溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。 溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是： ? 二、例题精讲 例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米，由条件可得： 解得 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 评注：本题设了三个未知数a、b、c，但只列出两个方程。实质上c是个辅助未知数，在解方程时把c视为常数，解出a，b(用c表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。 ? 例2 甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题) 解：设乙、丙二队合作了x天，丙队与甲队合作了y天。将工程A视为1，则工程B可视为1+25%=5/4，由题意得： ，由此可解得x=15 答：乙、丙二队合作了15天 评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。 ? 例3 牧场上的草长得一样地密，一样地快。70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天。如果要吃96天，问牛数该是多少？ 解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，所以每头牛每天吃 去分母得: 30(1+24x)=28(1+60x) ∴960x=2 ∴x=(头) 96 ? 例4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过了200只。后来改进技术，每人一天又多做27个零件。这样他们4个人一天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件。问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？ 解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件，由题意得 解得 15x17 因为 x是整数，所以x=16，而(16+37)(163.3 故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的3.3倍。 评注：本题所列的是不等式组，不能列成方程。 ? 例5 某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒350克，问应加纯酒精多少克？ 分析：配比前后碘的含量相同。 解：设稀释时需加纯酒精x克，则稀释后有碘酒(350+x)克，由题意得： (350+x)(2%=350(15% 解之得 x=2275 答：应加纯酒精2275克。 评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶剂量不变。所列方程的一般形式是各分量=总量。 ? 例6在浓度为x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x 解：设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，则由题意得 由(2)得 8 (a+b)=7 (a+2b) 即a=6b代入(1)得 6bx=140b ∴ 答：x为 ? 7 从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？ 解：设重量为7千克的合金的含铜百分数为x，重量为3千克的合金的含铜百分数为y， 切下的合金的重量是z千克，由题意得： ∴(21-10z) x=(21-10z) y ∴(21-10z) (x-y)=0 ∵x≠y ∴21-10z=0 ∴z=2.1 答：所切下的合金的重量是2.1千克. ? 例8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水。求甲、乙、丙三个容器中盐水