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理论力学 中南大学土木建筑学院 将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。 1.矢量形式 2.直角坐标形式 3.自然形式 质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。 动力学普遍定理 动量定理 动量矩定理 动能定理 矢量形式，投影求解。 标量形式 综合应用 ①根据问题的已知条件和待求量，选择适 当的定理求解，包括各种守恒定理的应用。 ②比较复杂的问题，根据需要选用两、 三个定理联合求解。 求解过程中，往往要正 确进行运动分析， 提供 正确的运动学补充方程。 平面运动速度和 加速度的分析。 B A [例] 物块A和B的质量分别为m1、m2，且 m1＞m2 ，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束力。 解一：取单个物体为研究对象。 分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得 m1g FA a m2g FB a A B O r FB FA FOx FOy O mg a 由以上方程联立求解得： 注意到 解二：用动能定理和质心运动定理。 解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统动能为 所有力元功的代数和为 于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg w 由微分形式的动能定理得 于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg w 考虑刚体系统的质心运动定理 得 解三：用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。 解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为 然后按解二的方法即可求得轴承O的约束力。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得 O D (b) [例]图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为q，求三棱柱体的加速度。 q A C B O w D a v vD vOD vD a 解：整体系统在水平方向上受力为零，所以系统的动量在水平方向上守恒。设某瞬时三棱柱的速度是v，圆柱体的角速度是w。求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度。 基点法：取圆柱体与三棱柱的接触点D为基 点，分析圆柱体中心O点的速度，如图(b)所示 (a) w x y 求出系统动量的水平分量： 由动量守恒定理: a ar ae m2g FS FN O D 两边对时间t求导得 欲求a需先求出a，取圆柱体分析如图(c)所示，由平面运动微分方程得 从中解出 x y 代入(*)式得 此式实质就是质心运动定理在水平线上的投影式 刚体系统