医学概率第1章-2医学概率第1章-2.ppt

* 1.1.3 条件概率与事件的独立性 把在事件A 已经发生的前提条件 在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条 称为事件B的条件概率， 下，求事件B 发生的概率， 1）条件概率与乘法公式 件下求事件的概率. 记作 P(B|A). 例1.7 盒中有10个球，其中8只红球，2只为白球，从中随机取球两次，每次取一只（不放回），求 (1) 第一次取到红球(A)的概率； (2) 已知第一次取到的是红球时，第二次取到的也 是红球（B）的概率. 解: (1) 显然是古典概型问题，所以 (2) 显然是条件概率问题，即求 P(B|A). 已知第一次取到的是红球时，第二次取球共有9个球， 8个白球，1个红球，（实际上是样本空间缩减了） 还按古典概型计算， 一般来讲，条件概率不等于无条件概率. 定义1.2 设A、B是两个事件，且 P(A)0，则称 为在事件B在事件A发生的条件下的条件概率. (1-1) 条件概率的严格数学定义 (3) 已知第二次取到的是红球时，第一次取到的也 是红球（B）的概率. 条件概率的性质： 满足概率所有的基本性质. 特别地， 补例1 一袋中有a+b个球，其中a个黑球，b个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）. （1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的仍是黑球的概率. 解 （1）显然 令Ai 为事件“第i 次取到的是黑球”( i =1, 2 ). （2） 可以利用古典概型求出. 利用抽签与顺序无关求出. 补例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解： 依题意，P(A)=0.8, P(B)=0.4 故所求为P(B|A) . 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 显然A、B 之间有先后关系，即A先发生，B后发生， 乘法公式（定理） 由条件概率的定义： 若 P(B) 0, 则P(AB)=P(B)P(A|B) （乘法公式） 由对称性得 若 P(A)0, 则P(AB)=P(A)P (B|A). 推广到多个事件的乘法公式: 当P(A1 A2…An-1)0 时，有 P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1) 特例：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C |AB), P(AB)0 补例2 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决. 问：抽签先后是否影响抽到“入场券” 的概率？　　　 用Ai 表示“第i个人抽到入场券”，i＝1, 2, 3, 4, 5. 解: 则 表示“第i 个人未抽到入场券” 对于第2个人， 同理,第3个人要抽到“入场券”必须第1, 2个人都没抽到. ＝(4/5) (3/4) (1/3)=1/5 继续做下去会发现，每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 2）全概率公式 和 贝叶斯公式 例1 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从任一箱中任意摸出一球，求取得红球的概率. 记Bi={球取自i 号箱},i =1,2,3; A={取得红球} 即A= AB1∪AB2 ∪ AB3，且AB1、AB2、AB3两两互斥 A发生当且仅当AB1,AB2,AB3 之一发生， ∴P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3) 解： B1, B2, B3 两两互不相容且 B1∪B2 ∪ B3= S，则称B1,B2, B3为样本空间S的一个划分. 这种将复杂事件概率计算转化为简单事件概率计算的方法称为全概率公式. 在求一个比较复杂事件的概率时，往往可以先把 它分解成两个（或若干个）互不相容的比较简单事件 的并. 从而有下列的定理. （全概率公式） 定理 设B1, B2 , 是一列互不相容的事件, 且有 则对任一事件A，有 例1（续）若已知取得的球是红球，求此红球取自2号箱的概率. 解 所求概率为 贝叶斯定理 定理 设B1, B2 , 是一列互不相容的事件, 且有 则对任一事件A，有 补例3 12个兵乓球中有9个新球，3 个旧球. 第一 次比赛，取出3个球，用完以后放回去，第二次比赛 （1）第二次取出的3 个球中有2个新球； （2）若第二次取出的