南开大学数学课件ja5.4 mathematica软件解线性方程组与线性规划南开大学数学课件ja5.4 mathematica软件解线性方程组与线性规划.pdf

5.4 解线性方程组与线性规划 教学要求 要求掌握用 Mathematica 解线性方程组的方法，了解齐次线性方程组的基础解系的概念. 理解线性规划问题的提法,并掌握用 Mathematica 处理线性规划问题的办法. 知识点 1. 齐次线性方程组的基础解系 2. 非齐次线性方程组的通解 3. 线性规划问题的提法 4. 线性规划问题的解与求解 5.4.1. 齐次线性方程组的基础解系 我们知道一般的 n 元线性方程组  a11x 1 + a12x2 + L+ a1n xn + b1  a21x1 + a22 x2 + L+ a2n xn + b2  (5.4.1)  L L L  a x a x L a x b + + + +  m 1 1 m 2 2 mn n m 可写成矩阵形式AX=B, 若 B=0,则(5.4.1)称为齐次线性方程组,当齐次线性方程组系数矩 阵A 的秩r(A)=n 时,它有唯一的零解, 当r(A)n 时,有无穷多个非零解, 且通解含n- r(A) 个任意常数. 例 5.4.1 齐次线性方程组  x1 + x2 − 3x4 − x5 0   x1 − x2 + 2x3 − x4 0  4x − 2x + 6x + 3x − 4x 0  1 2 3 4 5  2x + 4x − 2x + 4x − 7x 0  1 2 3 4 5 的系数矩阵的秩是3,有通解: 5 1 x −c + 2c , x c , x c − c , x c , x c 1 1 2 2 1 3 1 2 4 2 5 2 6 3 其中包含 5-3=2 个任意常数 c1 与 c2 .我们知道, 通解的表达式不是唯一的.以后我们把齐 次线性方程组通解的一组值称为该方程组的一个解向量. 比如令 c =1, c =0,我们就得到 1 2 一个解向量: x =-1, x =1, x =1, x =0, x =0,我们用矩阵的形式把它表示为(-1, 1, 1, 0, 0)’, 1 2 3 4 5 即 X = (-1, 1, 1, 0, 0)’ . 如果令 c =0, c =1 ，我们将得到另一个解向量 : 1 1 2 ′  5 1  X = 2 0 − 1 .于是通解可以写成X = c X + c X ,或 2 1 1 2 2  6 3   2  − 1 