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椭圆的参数方程 例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. O A M x y N B 分析: 点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=φ 例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. O A M x y N B 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ), 由已知: 即为点M的轨迹参数方程. 消去参数得: 即为点M的轨迹普通方程. 1 .参数方程 是椭圆的参 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab 另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 φ O A M x y N B 知识归纳 椭圆的标准方程: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: x y O 圆的标准方程: 圆的参数方程: x2+y2=r2 θ的几何意义是 ∠AOP=θ P A θ 椭圆的参数方程: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 【练习1】把下列普通方程化为参数方程. (1) (2) (3) (4) 把下列参数方程化为普通方程 练习2:已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ,则此椭圆的长轴长为( ),短轴长为( ),焦点坐标是( ),离心率是( )。 4 2 ( , 0) 例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线 l:x-y+4=0的距离最小. x y O P 分析1: 分析2: 分析3: 平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。 例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD, 求矩形ABCD的最大面积。 y X O A2 A1 B1 B2 F1 F2 A B C D Y X 练习3:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大. 练习4 1、动点P(x,y)在曲线 上变化 ,求2x+3y的最大值和最小值 2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 B 设中点M (x, y) x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

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