各向异性外问题的非均匀网格的自然边界元法及其耦合法各向异性外问题的非均匀网格的自然边界元法及其耦合法.pdf

第32卷 第2期 工 程 数 学 学 报 v01．32No．2 2015~04Yj CHINESEJOURNAL OFENGINEERING MATHEMATICS Apr．2015 doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2015．02．007 文章编号：1005—3085(2015)02—0226-13 各向异性外问题的非均匀网格的 自然边界元法及其耦合法术 郑 权，秦 凤， 高 碉 (北方工业大学理学院，北京 100144) 摘 要：本文对于无界区域上各向异性外问题提出了在椭圆边界非均匀网格上的 自然边界元法 及其与有限元法的耦合法，证明相应的收敛定理和误差估计式，并且在这两种方法中 引入基于等分布原理的移动网格技巧．最后，通过数值结果表明了误差收敛理论的正 确性 以及所提方法和技巧的有效性． 关键词：各向异性外问题；椭圆边界；自然边界元法；耦合法；非均匀 ／移动网格 分类号：AMS(2000)65N30 中图分类号：O241．4 文献标识码：A 1 引言 无界区域上的偏微分方程在科学与工程计算领域中已有许多数值解法．自然边界元法 是一种直接边界元方法，可 以求解关于Neumann外边值 问题的自然边界积分方程．经典 有限元方法与 自然边界元方法是基于相同的变分原理 自然而直接地耦合的，具有保持原边 值 问题许多有用基本性质的优点[1-6】． 如果求解区域是细长障碍物的外部区域，那么我们采用椭 圆或椭球代替圆或球作为人 工边界 ，这样就可 以节省大量计算 ．对各 向异性外问题可 以得到椭 圆上准确的人工边界 条件，即自然积分方程，并发展相应的耦合算法和区域分解算法，其中在人工边界上采 用均匀剖分的自然边界元及其与有限元的耦合法已得到较多应用[7-10]．但是，对于一些具 有间断解或大梯度解 的问题，均匀网格 比较浪费计算资源 ，而 自适应方法可 以根据偏微 分方程的特点求得高精度数值解[11,12】．目前，最主要的三种 白适应方法是：P一方法、h一方 法和r一方法，其中r一方法仅通过改变网格点的位置来实现 自适应[13-15]．边界元方法是求解 无界区域偏微分方程边值 问题的一种重要算法，h一方法已在 自然边界元方法中有一定的应 用，且得到了相应 的后验误差估计[16,17]；r一方法和h—r方法在边界元方法 中的应用得到了 很好的效果，且证明了边界元解的后验误差估计_18_； 自适应 h—r方法可以使残差上界最小 化 [19】． 下面，我们在第2节中提出各向异性椭圆型方程外边值问题的基于椭圆边界任意剖分 的自然边界元法，得到刚度矩阵的准确表达式，并证明其收敛性和误差估计；在第3节中 收稿 日期：2013—11—14．作者简介：郑权 (1964年1月生)，男，博士，教授．研究方向：计算数学 基金项目：国家自然科学基金 ：北京市自然科学基金(1122014)． 第2期 郑权，等：各向异性外问题的非均匀网格的自然边界元法及其耦合法 227 提出基于椭 圆边界任意剖分的自然边界元与有限元的耦合法，得到相应的收敛性和误差估 计 ；在第4节中展示了根据弧长等分布原理的移动网格算法在 自然边界元法和耦合法上的 应用，并通过数值例子证实了所提方法的有效性及相关误差分析的正确性． 2 椭圆边界上 自然积分方程的任意网格的数值解法 2．1 各 向异性问题的自然边界归化 首先考察如下各向异性椭 圆型微分方程的Neumann外边值 问题 券，●0●●f、啦0【 在 Q 内， _t_ 0