含参数导数问题点含参数导数问题点.doc

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例1 设，函数，试讨论函数的单调性。 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。 例2 已知是实数，函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）设为在区间上的最小值。 （）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），其中。 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。 例4（改编）设函数，其中，求函数的极值点。 例5已知函数 讨论函数的单调性； （II）设.如果对任意，，求的取值范围。 例6已知函数()=In(1+)-+(≥0)。 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。 例7设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。 (1)设函数，其中为实数。 (i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。 (2)已知函数具有性质。给定设为实数，，，且，若||||，求的取值范围。 例1解：。 考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。 （一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根， 因此，对参数分和两种情况讨论。 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数； 当时，。 由，得，因为，所以。 由，得；由，得。 因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。 （二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。 （1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数； （2） 当时，。 由，得；由，得。 因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。 例2解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。 当时，由，得；由，得。 因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。 （Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知： 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以： 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以。 当，即时，在上单调递减，所以。 例3解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅱ）由于，所以。 由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。 当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 例4解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域 上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。 （1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以 在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。 （2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根： 。 这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论： 0 递减 极小值 递增 （ⅰ）当时，，所以。 此时，与随的变化情况如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知：当时，有唯一极小值点。 （ⅱ）当时，，所以。 此时，与随的变化情况如下表： 由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。 例5解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. . 当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加； 当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少； 当-1＜＜0时，令=0，解得. 则当时，＞0；时，＜0. 故在单调增加，在单调减少. （Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于 ， ① 令，则 ①等价于在（0，+∞）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-∞，-2]. 例6解：（I）当时，， 由于，， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是. 当时，，得，. 所以没在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 例7（1）(i) ∵时，恒成立， ∴函数具有性质，与的符号相同。 当时，，，故此时在区间上递增； 当时，对于，有，所以此时在区间上递增； 当时，图像