在制图过程中换面法的使用在制图过程中换面法的使用.ppt

教学目的： 1.掌握换面法的基本原理，熟练掌握点的一次、二次换面 法的基本作图方法。 2.熟练掌握换面法的四个基本作图方法，并能用于解决空 间几何元素常见的度量问题和定位问题。 教学重点： 换面法的原理和应用换面法解决实际问题。 教学难点： 应用换面法解决空间几何元素常见的度量问题和定位问 题。 画法几何讨论的作图问题主要归结为两类。一是定位问题，即在投影图 上确定空间几何元素（点、线、面）和几何体的投影。二是度量问题，即根 据几何元素和几何体的投影确定它们的实长、实形、角度、距离等。 由前面内容可知，当空间的直线、平面对投影面处于特殊位置 —— 平 行或垂直时，上述两类问题的作图较为简便。本节将研究如何改变空间几何 元素相对于投影面的位置，以达到有利于解题的目的。 投影变换的方法很多，其中比较简单和常用的方法有两种:变换投影面法 （简称换面法）和旋转法。 换面法是使空间几何元素保持不动，用新的投影面替换原有的某个投影 面，使空间几何元素对新投影面处于有利于解题的位置。 旋转法是使空间几何元素绕垂直于某一投影面的轴线旋转，使空间几何 元素对投影面处于有利于解题的位置。 本教材只讲述换面法和用换面法解决几何元素的定位和度量问题。 2.6.1 换面规则 更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的。首先，空间几何元素在 新投影面上的投影要有利于解题;此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投 影面，构成新的两投影面体系（如图2-49所示）以便运用正投影原理由原来 的投影作出新投影。 由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投 影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到 有利于解题的新投影。这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一 个投影面。如图2-50所示，先换V 面,再换H 面，也可以先换H 面再换V 面。 2.6.2 求作点的新投影 任何形体都可以看作是点的集合。所以，研究运用换面法解决某些作图 问题之前，首先要讨论点的新投影的作法。 1.一次换面 如图2-51所示为更换正立投影面V时点的投影变换规律。 将点A向V1 面作垂直投射，得到新投影a1 ′。在新、旧投影面体系中，由于 H面保持不动，所以点A到H面的距离（Z坐标）不变，因而有a1 ′aX1 =a′aX。 若使V1 面绕新轴X1 旋转重合于H面，则得如图2-51（b）所示的投影图。在 投影图上有:aa1 ′⊥X1 ;a1 ′aX1 =a′aX 。其中a称为保留投影;a′称为被替换投 影;a1 ′称为新投影。 由上述分析可得出给定新轴X1 的位置后求A点的新投影a1 ′的作图步骤: （1）过保留投影a作直线aaX1 ⊥X1 ，得垂足aX1 。 （2）自aX1 在垂线上截取a′aX1 =a′aX 得点a1 ′，a1 ′即是点A在V1 面上的 新投影。 图2-52表示更换H面。取新投影面H1 ，使H1 ⊥V，原投影面体系V/H变换成 V/H1 。V 面为保留投影面;H面为被替换投影面;H1 面为新投影面。 设点A在H1 面上的投影为a1 ，此时，点A到V面的距离（y坐标）不变， 所以有a1a X1=aaX 。当新投影面H1 绕X1 轴旋转重合于V面后，在投影图 上有a′a1⊥X1 ;a1aX1 =aaX 。综合上述更换投影面的两种情况，得如下 投影规律: （1）点的新投影与保留投影的连线垂直于新轴。 （2）新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离。 当新投影面的位置（新轴的位置）确定后，由点的原来投影作其新投影 的步骤为: （1）过点的保留投影作直线垂直于新轴，得一垂足。 （2）自垂足在所作垂线上截取线段等于被替换投影到旧轴的距离，截得 的点即为所求新投影。 直线或平面的变换，可归结为直线上的两点或平面上三点的变换，其方 法、步骤与上述相同。 2.二次换面 图2-53表示更换两次投影面时求作点的新投影的方法，其作图原理与更 换一次投影面相同。 在V.H体系中，先用V1 替换V，V1 ⊥H，组成V1/H投影面体系（H为保留 投影面），求出a1′。 再把V1/H当作原投影面体系，用新投影面H1 替换H，H1⊥V1 ，组成新 的V1/H1 投影面体系，求出新投影a1 。此时V1 面为保留投影面，被替换投 影面则指H面。V1 、H1 面的交线为新轴X2 ，而X1 在第二次换面时被称为旧 轴。 二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即a1′a1⊥X2;a1 aX2 =aaX1 ， 如图2-53（b）。在换面顺序上可以有两种方案，即V/H→V1/H→V1/H1 或 V/H→V/H1 →V1/H1 ，由