数值分析差商(均差)的概念.ppt

* 拉格朗日插值误差余项 差商(均差)的概念 算法与例子 牛顿插值公式 《数值分析》 14 两点线性插值 定义误差余项: R(x) = f(x) – L(x) 由插值条件,知 R(x)=C(x) (x – x0)(x – x1) 即 f(x) –L(x) = C(x) (x – x0)(x – x1) C(x) = ??? 2/18 a≤x0＜x1＜······＜xn≤b 则对任何x∈[a , b], 满足 Ln(xk) = f(xk) 的 n 次插值多项式Ln(x) 的误差 其中, 且与x有关 定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有n+1阶导数, 取插值结点 3/18 证明: 记 ?n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn) f(x) – Ln(x)= C(x) ?n+1(x) 取定 x∈(a, b), 设 t∈( a, b ). 构造函数 显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, (?j = 0,1,···,n ) 由插值条件 Ln(xk) = f(xk) (k = 0,1,…,n) 知存在C(x)使得 4/18 F(t) 有(n+2)个相异零点. 根据Rolle定理, F’(t)在区间(a, b)内至少有 (n +1)个相异零点. 依此类推,F ( n+ 1?)(t) 在区间 ( a, b ) 内至少有 一个零点。故存在 ? ∈ (a, b), 使F(n+1)(? )=0 ? 5/18 例5.3 设 y = f(x) 在区间 [a, b]上有连续,且 f (x) 在 (a, b)内具有2阶导数,已知f (x)在区间端点处的值.如果当x∈ (a, b)时,有|f ’’(x)|≤M. 试证明 证明 由Lagrange插值误差定理 令h(x) = |( x – a )( x – b )| 6/18 应用: 考虑制做 sin x 在[0,? ]上等距结点的函数表,要求用线性插值计算非表格点数据时,能准确到小数后两位,问函数表中自变量数据的步长h应取多少为好？ 解：设应取的步长为h , 则 xj = jh ( j = 0,1,···,n). 当 x∈(xj , xj+1)时 ? h ≤ 0.2 只须 7/18 取x0, x1, x2,求二次函数 P(x)=a0 + a1(x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1) 满足条件 P(x0)=f(x0), P(x1)=f(x1), P(x2)=f(x2) 插值条件引出关于a0, a1, a2方程 牛顿插值问题 8/18 解下三角方程组过程中引入符号 a0 = f(x0), a1 = f[x1, x2], a2 = f[x0, x1, x2] P(x)=a0 + a1(x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1) 9/18 定义5.3 若已知函数 f(x) 在点 x0,x1,···,xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn).如果 i ≠ j ,则 ( j = 0,1,…,n-1 ) 一阶均差 n阶均差 二阶均差 ( j = 0,1,…,n-2 ) 10/18 x - 2 -1 0 1 3 y -56 -16 -2 -2 4 例 由函数表求各阶均差 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 -2 -56 -1 -16 40 0 -2 14 -13 1 -2 0 -7 2 3 4 3 1 2 解:按公式计算一阶差商、二阶差商、三阶差商如下 11/18 MATLAB程序计算 x=[-2 -1 0 1 3]’; y=[-56 -16 -2 -2 4]’; f=y n=length(x); for k=2:n for j=n:-1:k f(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j+1-k)); end D(:,k-1)=f;D(1:k-1,k-1)=zeros(k-1,1); end [x,y,D] -2 -56 -1 -16 40 0 -2 14 -13 1