数值分析-范数.ppt

第六章 线性方程组的迭代解法 向量范数 定理1 向量序列的收敛 矩阵范数 常见的矩阵范数 证明 迭代收敛的充分条件 收敛性的证明 收敛性的证明 定理5 定理5的证明 定理6 高斯-塞德尔公式的证明 高斯-塞德尔公式的证明 高斯-塞德尔公式的证明 线性方程组的性态问题 条件数 条件数性质 举例 * * 第二节 向量和矩阵的范数 定义 1) ||x|| ?0，且等号当且仅当 x=0 时成立； ( 正定性 ) 2) 对任意实数 ?，有 ||?x||＝|?|·||x|| ； ( 齐次性 ) 3) 对任意 x 和 y，有 ||x+y|| ? ||x|| + ||y|| ； ( 三角不等式 ) 则称 ||x|| 为向量 x 的范数。 常见向量范数： 对 ?x?Rn，若存在对应的非负实数 ||x||，满足 定理 1 对于任意向量 x， 证 因 故有 令p→∞，注意到 n1/p→1，即得式（15）.证毕. 定义 设向量序列 和向量 ，若 则称 收敛到 ，记作 。 定理 其中 || · || 为任一向量范数。 定义 对任意 x?Rn 都成立，则称 || · ||? 和 || · ||? 是 等价 的。 若存在常数 C1, C2 0 使得 Rn 上的所有向量范数都是等价的。 定义 对 ?A?Rm?n，若存在对应的非负实数 ||A||，满足 1) ||A|| ?0，且等号当且仅当 A=0 时成立；( 正定性 ) 2) 对任意实数 ?，有 ||?A||＝|?|·||A|| ；( 齐次性 ) 3) 对任意 A 和 B，有 ||A+B|| ? ||A|| + ||B|| ；( 三角不等式 ) 则称 ||A|| 为矩阵 A 的范数。 4) 对任意 A 和 B，有 ||AB|| ? ||A||?||B|| ；( 相容性 ) 定义 设 A 是 n 阶方阵，则称 为 A 的谱半径，其中 ?i 为 A 的特征值。 算子范数：（诱导范数） Frobenius 范数： 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A ? Rn?n 的 p 范数: 典型代表： ( 1-范数，列和范数 ) ( ?-范数，行和范数 ) ( 2-范数，谱范数 ) 是向量 || · ||2 的直接推广，但不是算子范数。 ( F-范数) 而 故矩阵范数亦可等价地定义为 矩阵范数的性质证明 矩阵范数的性质证明 定理1：对任意初始向量X(0)及常向量d，上述迭代格式 定理2：若迭代矩阵Ｂ的某种范数 则上述 收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径?(G) 1。 确定的迭代法对任意初值X(0)均收敛于方程组 X = GX + d的唯一解x*。 迭代法的收敛条件 迭代过程的收敛性 定理 3 对给定方阵 G，若 ，则矩阵 I-G 为非奇异. 证 用反证法. 若 I-G 为奇异阵，则存在非零向量 x，使 （I- G）x = 0 即有 x = Gx 于是据式（17）得 由于 x≠ 0，又按题设 G 1，故上式不可能成立. 命题得证. 定理 4 若迭代矩阵 G 满足 则迭代公式（23）对于任意初值 x（0）均收敛. 证 由于 ，据定理 3知 I-G 为非奇异阵， 因此 方程组（22）有唯一解 x*： 得 据此反复递推，并利用条件（24）知 因之，有 故迭代过程收敛. 定义1：如果矩阵的每一行中，不在主对角线上的所有 元素绝对值之和小于主对角线上元素的绝对值， 即 则称矩阵A按行严格对角占优，类似地，也有按列 严格对角占优。 对角占优矩阵 若 A 为对角占优阵，则它是非奇异的. 证 ： 因 A 为对角占优，其主对角线元素 aii全不为 0，对角阵 D =diag（aii）为非奇异的. 得 ： 利用对角占优条件（26）知 故利用定理 3可以断定 D-1A 为非奇异，从而 A 为非奇异. 若线性方程组AX = b的系数矩阵A按行严格对角 占优，则雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法 对任意给定初值均收敛。 证 雅可比公式（11）的迭代矩阵为 由前面的证明可知 所以，雅克比迭代是收敛的 设 A=D+L+U 高斯-塞德尔迭代公式为 令 y=~Gx，则有 写出分量形式有 设 且 得 得 利用对角占优条件知 命题得证 考虑线性方程组: 由于系数矩阵和右端