数值与计算方法(绪论).ppt

数值计算方法 先修课程 高等代数、线性代数、一门编程语言 开课情况 48学时，3学分。 教学安排 1. 绪论 2. 非线性方程的数值解法 3. 线性方程组的数值解法 4. 函数逼近的插值法与曲线拟合法 5. 数值积分 6. 常微分方程数值解法 7. 矩阵特征值和特征向量的数值解法 第1章 绪论 利用计算机解决实际问题有三大步骤： 建立模型 计算问题的解( 1.选择数值方法；2 .编写程序) 实验验证 本课程的任务： 讨论第Ⅱ步，即介绍计算机上的常用的数值方法 计算数学的对象 为什么要学习计算方法这门课？ 利用计算机求解实际问题的核心过程，非常重要。 虽然已有大量数值算法的软件包，但需要我们了解算法设计的原理，以便更好地应用。 随着计算机的应用越来越广泛，计算问题越来越复杂，规模越来越大，现成的数值方法软件包不能满足特定需要，如数字图像处理、天气预报、Web有哪些信誉好的足球投注网站。 用计算机求解，需要首先将数学模型转换为数值问题，然后研究求解数值问题的数值算法。 （1）数值问题 （2）数值方法 1.1数学问题的数值解法例示 例1.1.1试求函数方程x=cosx在区间 内的一个根。 解 注：【零点定理】 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（aξb）使f(ξ)=0。 1.1数学问题的数值解法例示 简单迭代法： 取初值：x0=0.75 迭代得：x1=0.731688868，x2=0.744047084 … … x42=0.739085133，x43=0.739085133 牛顿迭代法： 取初值：x0=0.75 迭代得：x1=0.739111138，x2=0.739085133 x3=0.739085133 注释 注释：Cramer法则 设线性方程组 简记 AX=b 其中 现取h=0.05,其结果见下表: 1.2 误差概念和有效数 在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的. 我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因. 例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期. 误差的分类 模型误差： 从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差. 观测误差： 一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。 截断误差： 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差： 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。 误差和有效数字 误差估计 由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。 误差界就是用于误差估计的。 误差估计 有效数字 在工程上，误差的概念就转化为有效数字。 例：求1.3824具有几位有效数字? 绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界。 函数值的误差估计 引入微分符号 1.2.3 函数值的误差估计 多元函数误差估计 例题 1.3算法的优化 算法优劣的标准 从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少. 从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定. 从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现. 设计算法时应遵循的原则 要有数值要稳定性,即能控制误差的传播. 避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上. 避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失. 避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出. 例题 实际问题 数学模型 (数值)算法 编程 计算结果 抽象 模型误差,观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差 是为了衡量x*的精度高低，比较直观，但无法衡量精度的好坏。 而相对误差（也成百分比误差），衡量好坏更合理。 * * 实际问题 数学模型 (数值)算法 编程 计算结果 抽象：“去伪存真，去粗取精” (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 总体设计(含模型的细化等) 详细设计(主要是算法设计) 实验验证 其中Ⅱ包括： 连续系统的离散化 离散型方程的数值求解 以计算机为工具 求解各种数学模型需经历三个过程 计算方法