好题妙解好题妙解.pdf

把1～625 这625 个自然数按顺时针方向依次排列成一个圆圈。从1 开始顺时针方向擦去1，保留2，再擦 去3、4，保留5，擦去6，保留7，再擦去8、 9，保留10……这样擦去一个数，保留一个数，擦去两个数， 保留一个数；再擦去一个数，保留下一个数，擦去两个数，保留一个数……一直转圈擦下去，最后剩 下的 数是( )。 Skykiller: 每5 个数一组，保留下2 个数。 第一轮，留下625/5*2=250 个数 第二轮，留下250/5*2=100 个数 第三轮，留下100/5*2=40 个数 第四轮，留下40/5*2=16 个数 以上四轮，625 均在末尾保留下来了。 16 个数按1-16 编号，按规则，最后留下的是15 号。 即最后16 个数中，625 前面一个数A 被保留到最后。 再往A 和625 之间插四轮数。 第一轮：A 和625，2 个数，1 个空，插2 个数 第二轮：2+2=4 个数，3 个空，插2+1+2=5 个数 第三轮：4+5=9 个数，8 个空，插（2+1 ）*4=12 个数 第四轮：9+12=21 个数，20 个空，插（2+1 ）*10=30 个数 从A-625 共有：21+30=51 个数，A=625-51+1=575 Jdmath: 其实这个问题跟2.5 有关 题目因为625=5^4，四轮后剩下16 个，可以知道答案是16 个中的第15 个。 那么第15 个是什么呢 [15*2.5]=37 [37*2.5]=92 [92*2.5]=230 [230*2.5]=575 例如125=5^3,三轮后剩下8 个，可以知道答案是8 个中的第5 个。 那么第5 个是什么呢 [5*2.5]=12 [12*2.5]=30 [30*2.5]=75 小艾： 不妨把原题解法中用到的2.5 称为关键系数α，由题意每5 个数擦完后剩下2 个数 = α=5/2=2.5； 如果是“擦去一个数，保留一个数，擦去三个数，保留一个数” ，那么每6 个数擦完后剩下2 个数 = α=6/2=3； 推广到一般情况“擦完1 轮后，每X 个数剩下Y 个数” ，那么可以得到α=X/Y，然后再在一个最小周期内去构 造类线性关系式。 如果总数S≠M^n，那么找到最大的n 令M^nS，先擦去S-M^n 个数，再从M^n 入手。 回过头来看传统的”猫吃老鼠“ 问题，只不过是这种解法的一个特殊情况！ Jdmath: 其实M^n 的情况艾铃儿已经想出来了。对于一般情况，我就用楼主的题把625 改为487 作一个例子。 解答：我们考虑487 去掉112 个数为375=125*3 的情况。 由于一个周期是减少3 个数，而112=37*3+1， 1 所以去掉第112 个数的位置在5*37+1=186 号 新的擦数方法也改为保留一个数，擦去两个数，保留一个数；再擦去一个数 375 在三轮后会留下3*8=24 个。这24 个数用新的插数方法剩余的为11 号 此时的迭代规则为f(n)=[2.5n]-1， 因此f(f(f(11)))=f(f(26))=f(64)=159. 最后剩下的数是是 159+186=345 号。如果这个数487，还要在2,5,185 中找。 小艾： 如果S-M^n 小于第一轮擦掉的个数，可以先擦去S-M^n 个数转化为M^n 来做。 skykiller 版主担心的是如果要擦好几轮才能擦去S-M^n 个数，因此举了个极端的例子共有2×M^n-1。 Jdmath: 其实不必一定转化为m^n，也可以p*m^n(p=m)来做，这样就可以避免擦好几轮 例如：624 的情况就可以转化为500 由于一个周期是减少3 个数，而124=41*3+1， 所以去掉第124 个数的位置在5*41+1=206 号 新的擦数方法也改为保留一个数，擦去两个数，保留一个数；再擦去一个数 500 在三轮后会留下4*8=32 个。这32 个数用新的插数方法剩余的为4 号 此时的迭代规则为f(n)=[2.5n]-1， 因此f(f(f(4)))=f(f(9))=f(21)=51. 最后剩下的数是是 206+51=257 号。如果这个数624，还要在2,5,205 中找。 在1，2，3...，99，100 这100 个数中，有一些是3 的倍数，也有一些是5 的倍数，在这些3 的倍数和5 的 倍数中各取一个数相加，一共可以得到多少个不同的和？ 苏昊： 如果1-100，4 的倍数+6 的倍数 是否可以转化成1-50,2 的倍数+3 的倍数？ Jdmath：