方程组直接解法消元法.ppt

* 第五章解线性方程组的直接法 /* Direct Method for Solving Linear Systems */ 求解 §5.1 高斯消元法 /* Gaussian Elimination */ 高斯消元法： 思路 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */，再回代求解 /* backward substitution */。 = §1 Gaussian Elimination – The Method 消元 记 Step 1：设 ，计算因子 将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 ? mi1 ? 第1行，得到 其中 Step k：设 ，计算因子 且计算 共进行 ？ 步 n ? 1 回代 定理 若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。 注：事实上，只要 A 非奇异，即 A?1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 §1 Gaussian Elimination – The Method §5.2高斯主元消去法 /* Pivoting Strategies */ 例：用八位浮点数求方程组 /* 精确解为 和 */ 8个 8个 用Gaussian Elimination计算： 8个 小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计算失败。 §1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies 5.2.1全主元消去法 /* Complete Pivoting */ 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 Step k: ① 选取 ② If ik ? k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk ? k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。 5.2.2列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */ 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。 §1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies 例： ? 注：列主元法没有全主元法稳定。 例： 注意：这两个方程组在数学上严格等价。 ? 标度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */ 对每一行计算　　　　　 。为省时间，si 只在初始时计算一次。以后每一步考虑子列 中　 最大的 aik 为主元。 注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。 §1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies