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守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解
2015年 8月 计 算 数 学 第 37卷第 3期
Aug.,2015 M ATHEMATICA NUMERICA SINICA Vo1.37,No.3
守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析
和快速求解木1)
崔 霞 岳晶岩
(北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室,北京 100088)
摘 要
对于守恒型扩散方程,研究其二阶时间精度非线性全隐有限差分离散格式的性质,证明了其
解的存在唯一性.研究了二阶时间精度的Picard—Newton迭代格式,证明了迭代解对原问题真解
的二阶时间和空间收敛性,以及对非线性离散解的二次收敛速度,实现了非线性问题的快速求解.
本文中方法也适用于一阶时间精度格式的分析,并可推广至对流扩散问题.数值实验验证了二阶
时间精度 Picard—Newton迭代格式的高精度和高效率.
关键词:守恒型扩散方程;非线性全隐离散格式;二阶时间精度;存在唯一性;迭代加速
MR (2000)主题分类:65M06,65M12,65B99
1.引 言
非线性全隐离散格式已广泛应用于扩散问题的数值求解 [1-3j.它能够取消算子分裂方法
和显式方法的稳定性时间步长限制.二阶时间精度非线性全隐离散格式更适应于瞬变问题的
更精确求解 【,引.但对守恒型扩散 问题,这一类离散格式的理论分析还 比较少.关于其精度,已
有文献只是利用截断误差给出简单的说明.关于其迭代方法的研究,也仅限于数值实验的比
较.
周毓麟先生等发展的离散泛函分析方法 。【]为迭代方法的理论分析提供了有力的工具.其
中,非线性全隐离散格式的 。。(日)收敛性是迭代解的收敛性和收敛速度证明的一个充分条
件.对于非守恒型扩散方程,该收敛性不难证明,但对守恒型扩散问题,则并非易事.研究的难
点在于守恒型扩散算子非线性离散项的估计.对非守恒型扩散问题,通过选取检验函数为试探
函数的二阶空间中心差商离散,容易应用强制性条件得到扩散算子的下界估计,并利用对应于
时间导数离散项的分部求和,得到Lo。(H )收敛性.而对守恒型扩散问题,扩散算子非线f生离
散后,得到的误差项复杂得多,这种方法难以应用.事实上,即使一阶时间精度非线性离散格式
的分析也尚不完善;因而,已有关于迭代方法的理论分析中,常将非线性全隐离散解的收敛性
作为假设条件 1【J.作者在非线性耦合问题研究 7【j8J的基础上,在文献 [9]中,采用不同的检验
函数 (试探函数的一阶时间差商离散),利用对应于扩散算子离散项的分部求和,给出不同于非
守恒型问题和线性格式分析的两种新的归纳假设论证方法 一利用 Lo。(L)收敛性结果的两步
推导证明方法和利用试探函数前一时间步一阶空间差商最大模估计的单独直接证明方法,建
立了守恒型扩散问题非线性全隐离散解的 o。(日)收敛性估计,并给出了稳定性分析结果.
2014年 12月 i0日收到.
)基金项 目:国家 自然科学基金 11271054,中国工程物理研究院科学技术发展基金
(2012B0202026,2014A0202010),计算物理实验室基金.
)通讯作者:岳晶岩,E-mail:yuejingyan@iapcm.ac.cn.研究方向:辐射流体力学计算方法.
228 计 算 数 学 2015焦
本文证明非线性全隐离散格式的存在性和唯一性.分别采用了类似于文献 [10】和 [11】的
思想.利用不动点理论,建立解的存在性.通过估计假定存在 的两个解,证明其差的 范数为
0,得到解的唯一性.与文献 1【0]和 [11]中对非守恒型扩散问题的研究相比,对非线性守恒型
扩散算子,需要新的更细致的处理.其中,非线性全隐离散解的唯一性证明中利用了该格式的
o。(日)收敛性的结论.此外,给出二阶时间精度 Picard—Newton迭代格式的理论分析,包
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