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第十五讲 等比数列 一、知识概要 1、等比数列 定义：=q（q为常数，an≠0）；an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）； 通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m; 前n项和公式：； 性质:当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，当2n=p+q时，an2=apaq，数列{kan}，{}成等比数列。 2、等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{an}为等差数列，则{}为等比数列（a0且a≠1）； 若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a0且a≠1）。 3、几点说明 (1) 等差数列(等比数列)定义中, 特别注意公差 (或公比) 与项的差 (或比) 的顺序不能颠倒, 即或 (2) 等差中项与等比中项. 若A是a、b的等差中项, 则; 若G是a、b的等比中项, 则 , 从而任意两个数都有惟一一个等差中项, 而只有任意两个同号的数 才有等比中项, 且都有正负两个. 对于任一个等差数列若则是 与 的等差中项, 即; 对于任一个等比数列若则是与的 等比中项, 即. (3) 证明一个数列是等差(或等比)数列的方法有: ① 定义法: 证明对任意正整n均有 ② 中项法: 对于一个数列, 除了首项和末项(有穷数列)外, 任何一项都是它的前后两项的等差中项(或等比中项), 即证(或) 对满足题意的n均成立; ③ 通项公式法: 证明数列通项公式均能表示成(或)的形式(其中). 二、题型展示 例1、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。 例2、设{an}是等差数列，，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an。 例3. 已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （）求q的值； （）设是以2为首项，q为公差的等差数列其前n项和为当时, 比较与的大小并说明理由. an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和， 用Sn表示Sn+1； 是否存在自然数c和k，使得成立。 解题思路分析：（1）∵ ∴ （2）（*） ∵ ∴ ∴ 式（*） ① ∵ Sk+1Sk∴ 又Sk4 ∴ 由①得：c=2或c=3 当c=2时∵ S1=2∴ k=1时，cSk不成立，从而式①不成立 ∵ ∴ 由SkSk+1得： ∴ 当k≥2时，，从而式①不成立 当c=3时，S12，S2=3 ∴ 当k=1，2时，CSk不成立∴ 式①不成立 ∵ ∴ 当k≥3时，，从而式①不成立 综上所述，不存在自然数c，k，使成立 三、题型训练 1．(2005全国卷II) 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为____________． 2 (2005湖北卷)设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 . 3．已知数列满足，则= （ ） A．0 B． C． D． 4 设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10 5. 已知数列，且 其中 求求的通项公式的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则( ) A． B． C． D． 3. （2006年湖北卷）若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则=（ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4 4．（2006年辽宁卷中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 (A) (B) (C) (D) 5.已知{}为等比数列，，求{}的通项公式。2006年卷，点在函数的图象上，其中 （1）证明数列是等比数列； （2）设，求及数列的通项； （3）记，求数列的前项，并证明 附:(参考答案) 题型展示: 例１、例2、an=2n-3 或 an=-2n+5例3 (1) (2) 略 题型训练: 1. 216 2. -2 3．B 4 S10=10a1+d=－ 5.(1) (2) 的通项公式为当n为奇数时 当n为偶数时 6. （Ⅰ）p=2或p=3.（Ⅱ）证明略 真题演练: 1．B 2．