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7高中数学学习必备的初中知识技能(第七讲 分式方程和无理方程的解法) - 复制
第七讲 分式方程和无理方程的解法
一、可化为一元二次方程的分式方程
1.去分母化分式方程为一元二次方程
【例1】解方程 .
分析:去分母,转化为整式方程.
解:原方程可化为:
方程两边各项都乘以:
即, 整理得:
解得:或.
检验:把代入,不等于0,所以是原方程的解;
把代入,等于0,所以是增根.
所以,原方程的解是.
说明:
(1) 去分母解分式方程的步骤:
①把各分式的分母因式分解; ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母; ③去括号,把所有项都移到左边,合并同类项; ④解一元二次方程; ⑤验根.
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验,但代入原方程计算量较大.而分式方程可能产生的增根,就是使分式方程的分母为0的根.因此我们只要检验一元二次方程的根,是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0.若为0,即为增根;若不为0,即为原方程的解.
2.用换元法化分式方程为一元二次方程
【例2】解方程
分析:本题若直接去分母,会得到一个四次方程,解方程很困难.但注意到方程的结构特点,设,即得到一个关于的一元二次方程.最后在已知的值的情况下,用去分母的方法解方程.
解:设,则原方程可化为: 解得或.
(1)当时,,去分母,得;
(2)当时,.
检验:把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0.
所以,,都是原方程的解.
说明:用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值,而没有求到原方程的解,即的值.
【例3】解方程 .
分析:注意观察方程特点,可以看到分式与互为倒数.因此,可以设,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程.
解:设,则
原方程可化为:.
(1)当时,;
(2)当时,.
检验:把把各根分别代入原方程的分母,各分母都不为0.
所以,原方程的解是,,.
说明:解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现了化归思想.
二、可化为一元二次方程的无理方程
根号下含有未知数的方程,叫做无理方程.
1.平方法解无理方程
【例4】解方程
分析:移项、平方,转化为有理方程求解.
解:移项得:
两边平方得:
移项,合并同类项得:
解得:或
检验:把代入原方程,左边右边,所以是增根.
把代入原方程,左边 = 右边,所以是原方程的根.
所以,原方程的解是.
说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤:
①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根.
【例5】解方程
分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模式,再用例4的方法解方程.
解:原方程可化为:
两边平方得:
整理得:
两边平方得:
整理得:,解得:或.
检验:把代入原方程,左边=右边,所以是原方程的根.
把代入原方程,左边右边,所以是增根.
所以,原方程的解是.
说明:含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤:
①移项,使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例4的说明.
2.换元法解无理方程
【例6】解方程
分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现:.因此,可以设,这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理.
解:设,则
原方程可化为:,
即,解得:或.
(1)当时,;
(2)当时,因为,所以方程无解.
检验:把分别代入原方程,都适合.
所以,原方程的解是.
说明:解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体现了化归思想.
A 组
1.解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
2.用换元法解方程:
3.解下列方程:
(1) (2) (3)
4.解下列方程:
(1) (2)
5.用换元法解下列方程:
(1) (2)
B 组
1.解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
2.用换元法解下列方程:
(1) (2)
(3)
3.若是方程的解,试求的值.
4.解下列方程:
(1) (2)
5.解下列方程:
(1) (2)
(3)
第七讲 分式方程和无理方程的解法答案
A 组
1.
2.
3.
4.(1).(2) .
5.
B 组
1.
2.
3.
4.
5.
1
1
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