章矩阵的特征值与特征向量.ppt

第5章 矩阵的特征值 与特征向量 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵与矩阵对角化 实对称矩阵对角化 课堂练习 定理： 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似，即 ，则 (1)若A,B均可逆，则 (2) （k为正整数） 。 （3）若 是m次多项式，则 证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得 (1) （2） 即 （k为正整数） （3） 从而 阶方阵 定理(充要条件) 可对角化 有 个线性无关的特征向量. 所谓方阵 可以对角化, 是指 ?相似. 即存在可逆矩阵 使 成立. 3.矩阵可对角化的条件 证明 设 得到 即 是 的对应于特征值 的特征向量. 因 可逆, 故 线性无关. 设 线性无关. 记 则 因 线性无关, 故 可逆, 即 可对角化. 推论(充分条件) 若 A的n 个特征值互不相等, 则 A与对角阵相似(可对角化). 逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征 值不一定互不相等. ① 如果A 有k 对应的线性无关的特征向量的个数(几何重数)相等,则 A一定可对角化. 关的特征向量的个数少于k 则A 一定不能对角化. ② 如果A 有一个k 重特征值,并且所对应的线性无 重特征值,只要重数(代数重数)和所 推论2 注意：从上面定理的证明过程可知：若A能与对角阵 相似，则 （1）与A相似的对角阵的主对角线上的元素恰好就是A的n个特征值 （2） 中的各列 恰好就是A的属于 的特征向量 是否可对角化，若可对角化，求可逆阵P． 因为A有3个不同的特征值，故可对角化 注意：由于齐次线性方程组 的基础解系不唯一，则可逆阵P不是唯一的。另外，由于P中的列向量依次是属于对角阵 中对角线上相应元素的特征向量，如果将这种对应换个次序排列，也可以得到不同的P及对角阵。 是否可对角化? 例2 由于二重根只对应着 一个线性无关的特征 向量，故不可对角化。 例3 有三个不同的特征值 对应的特征向量分别为 已知 求 (1) (2) 解 又 所以 (2) 即 记 显然可逆, 则有 而 故 例4 设 ，且已知A有三个线 性无关的特征向量， 是A的二重特征值，试 求可逆的P，使得 为对角阵 解：由假设知A能对角化，而 是A的二 重特征值, 故 (2E-A)x=0的基础解系有2个线性无关的解。由 而 * 1. 特征值与特征向量定义 2. 相关概念 3.两个有用公式 4.特征值与特征向量求法 (特征方程根与系数的关系) 第5.1节 方阵的特征值与特征向量 定义 若存在常数 及非零向量 1. 特征值与特征向量定义 若 ※ ① 不同特征向量可属于同一个特征值. ② 一个特征向量不能对应于不同特征值. ③ 不同特征值对应的特征向量是线性无关的. 用数学归纳法证明（见教材） 特征值与特征向量间的关系： 两式想减得： (1) 因为 ，所以 故 同一个特征值可以对应着许多不同的特征向量 即：一个特征向量不能对应于不同特征值 同理可得， 所以 线性无关 2、相关概念 称 ※ 特征值和特征向量的求法 （1）求特征方程 ＝0的全部根，即得A的全部特征值 （2）对于每—个特征值 ，解它对应的齐次线性方程组 的全部非零解。即得关于 的全部特征向量． 例 5.1.3 求矩阵 的特征值与特征向量. 解 得特征值 当 时, 解方程 由 得基础解系 全部特征向量为 当 时, 解方程 由 得基础解系 全部特征向量为 例 5.1.4 求矩阵 的特征值与特征向量. 解 得特征值 当 时, 解方程 得基础解系 全部特征向量为 当 时, 解方程 得基础解系 全部特征向量为 注意在例5.1.4与例5.1..3中,特征方程的 重根所对应的线性无关特征向量的个数. 定理 如果A是n阶矩阵,入是A的m重特征值， 则属于入的线性无关的特征向量 的个数不超过m个． 例5.1.5 如果矩阵 则称 是幂等矩阵. 试证幂等矩阵的特征值只能是 0或 1. 证明 设 两边左乘矩阵 , 得 由此可得 因为 所以有 得 若 是 ※ 由证明过程可得结论, 是 的特征值, 则 的特征值. 进而 是 的特征值 例5