章牛顿插值法.ppt

数值计算方法 第4章 插值法 上一节回顾 插值问题 Lagrange插值多项式的缺点 解决 以下内容自学 * * 均差与牛顿插值公式 插值多项式的存在唯一性 插值余项 Lagrange插值多项式 满足插值条件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,…,n) n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn 存在而且惟一. ——插值函数 O x y 几何解释 ——（插值）节点 ——插值条件 插值函数就是通过n+1个给定点 的几何曲线。 ——插值区间 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的； Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 li(x) 都需重新算过。 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成 共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？ 显然，多项式组 线性无关， 因此，可以作为插值基函数 基函数 有 再继续下去待定系数的形式将更复杂 。。。。。。 为此引入差商和差分的概念 差商(亦称均差)/* divided difference */ 1阶差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */ 2阶差商 定义2. 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 ] , , ... , [ ] , , ... , [ ] , , ... , [ ] , ... , , [ ] , ... , [ + + - - + + + - - = - - = k k k k k k k k k k k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x f (k+1) 阶 差 商 差商的计算方法(表格法): 规定函数值为零阶差商 差商表 例 列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。 三阶差商 四阶差商 解：列表计算 差商具有如下性质: Warning: my head is exploding… What is the point of this formula? 差商的值与 xi 的顺序无关！ Newton插值公式及其余项 1 2 … … … … n+1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + (x ? x0)…(x ? xn?1) ? n+1 Nn(x) Rn(x) ai = f [ x0, …, xi ] Newton插值公式及其余项 例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商 公式求 的近似值。 解： 从而得二阶牛顿基本差商公式为 因此计算得 的近似值为 性质3 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating. 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 分段低次插值 也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果 因此 则 ? 分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): 记 ，易证：当 时， 一致 失去了原函数的光滑性。 ? 分段Hermite插值 /* Hermite piecewise polynomials */ 给定 在