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章误差的基本性质与处理

   当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时,得到一系列不同的测量值(常称为测量列),每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有确定的规律,即前一个数据出现后,不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言,却明显具有某种统计规律。     随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成,主要有以下几方面:     ① 测量装置方面的因素     ② 环境方面的因素     ③ 人为方面的因素   随机误差的分布可以是正态分布,也有在非正态分布,而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。    设被测量值的真值为 ,一系列测得值为 ,则测量列的随机误差 可表示为: (2-1)   式中       。 正态分布的分布密度  与分布函数  为 (2-2) (2-3)   式中:σ——标准差(或均方根误差)      e——自然对数的底,基值为2.7182……。 它的数学期望为 (2-4) 它的方差为:                     (2-5)  其平均误差为:                       (2-6)  此外由       可解得或然误差为 :                               (2-7)  由式(2-2)可以推导出:    ① 有     ,      可推知分布具有对称性,即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,这称为误差的对称性;    ② 当δ=0时有     ,即     ,可推知单峰性,即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,这称为误差的单峰性;    ③ 虽然函数  的存在区间是[-∞,+∞],但实际上,随机误差δ只是出现在一个有限的区间内,即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性;    ④ 随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋向于零:    这称为误差的补偿性。   图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标,θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标,ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 下面来证明当测量次数无限增加时,算术平均值必然趋近于真值Lo。 即 由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ,因此 由此我们可得出结论:如果能够对某一量进行无限多次测量,就可得到不受随机误差影响的测量值,或其影响很小,可以忽略。这就是当测量次数无限增大时,算术平均值(数学上称之为最大或然值)被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量,因此,我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 一般情况下,被测量的真值为未知,不可能按式(2-1)求得随机误差,这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差,简称残差: (2-9) 此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值,计算每个测得值 与 的差值: (2-10) 式中的 为简单数值,很容易计算,因此按(2-10)求算术平均值比较简单。 例 2-1 测量某物理量10次,得到结果见表2-1,求算术平均值。                 解:任选参考值  =1879.65, 计算差值 和 列于表 很容易求得算术平均值  = 1879.64 。                          (二)算术平均值的计算校核   算术平均值及其残余误差的计算是否正确,可用求得的残余误差代数和来校核。     由            ,式中的 是根据(2-8)计算的,当求得的 为未经凑整的准确数时,则有: (2-11)    残余误差代数和为零这一性质,可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的为经过凑整的非准确数,存在  舍入误差Δ,即有:     成立。而   经过分析证明,用残余误差代数和校核算术平均值及其残差,其规则为:    ①残差代数和应符合:    当     ,求得的 为非凑整的准确数时,  为零;    当     ,求得的 为非凑整的准确数时,  为正,其大

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