章误差的基本性质与处理.ppt

　　 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。 　　　 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面： 　　　 ① 测量装置方面的因素 　　　 ② 环境方面的因素 　　　 ③ 人为方面的因素 　 随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。 　　　设被测量值的真值为　，一系列测得值为　，则测量列的随机误差　可表示为： (2-1) 　 式中　　　　　　　。 正态分布的分布密度　　与分布函数　　为 (2-2) (2-3) 　 式中：σ——标准差（或均方根误差） 　　 　 e——自然对数的底，基值为2.7182……。 它的数学期望为 (2-4) 它的方差为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2-5) 　其平均误差为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2-6) 　此外由　　　　　　　可解得或然误差为 ： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2-7) 　由式（2-2）可以推导出： 　　　① 有 　　　　, 　　　　 可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； 　　　② 当δ=0时有 　　　 ，即 　　　　，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性； 　　　③ 虽然函数　　的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性； 　　　④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：　　　 这称为误差的补偿性。 　 图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。 即 由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此 由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差： (2-9) 此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值： (2-10) 式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。 例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。 　　　　　　　　　　　　　　　　解：任选参考值　 =1879.65， 计算差值 和 列于表 很容易求得算术平均值 　＝ 1879.64 。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（二）算术平均值的计算校核 　　算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。 　　　 由　　　　　　　　　　 　，式中的　是根据（2-8）计算的，当求得的　为未经凑整的准确数时，则有： (2-11) 　　　残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在　 舍入误差Δ，即有： 　　　　成立。而 　　经过分析证明，用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为： 　　　①残差代数和应符合： 　　　当　　　　　，求得的　为非凑整的准确数时，　　为零； 　　　当　　　　　，求得的　为非凑整的准确数时，　　为正，其大