章空间解析几何.ppt

向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数： 设 向量积的坐标表达式: 向量积还可用 三阶行列式表示 例3 设 ， ，计算 例4 已知三角形ABC的顶点是 ， 和 ，求三角形ABC的面积。 PS: 一、点的轨迹、方程的概念 若曲面S与三元方程 有下述关系： 1、曲面S上任一点的坐标都满足（1）； 2、不在曲面S上的点的坐标都不满足（1）。 那么方程（1）叫做曲面S的方程，曲面S叫方程（1） 的图形。 （1） 若1、曲线C上任意点的坐标满足方程组 2、不在曲线C上的点不满足方程组（2）。 那么方程组（2）叫做曲线C的方程。 曲线C叫做方程组（2）的图形。 二、平面的点法式方程 1、法线向量：若一非零向量 垂直于一平面，这向量就叫 该平面的法线向量。 通常记为 2、平面方程 问： 已知空间一点、一条直线，过这个点可以 作几个平面垂直于这条直线？ 答： 有且只有一个。 设 例1 求过点（2，-3，0）且以 为法线向量的平面方程。 例2 求过三点 、 的平面方程。 三、平面的一般方程 几种特殊的平面方程： 1、当D=0时， 为通过原点的平面。 2、当A=0时 表示一个平行于 x轴的平面。 当B=0、C=0时，方程分别表示平行于y轴、z轴 的平面。 由 得 所以任一三元一次方程总表示一个平面 3、A=B=0时， 表示平行于xoy面的平面。 B=C=0、A=C=0时，方程分别表示平行于yoz面 xoz面的平面。 例3 求通过x轴和点（4，3，-1）的平面方程。 例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为 、 、 三点，求这平面的方程。 （ ） 叫做平面的截距式方程，a、b、c依次叫做平面在 x、y、z轴上的截距. 四、两平面的夹角 1、定义 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。 2、两平面夹角的余弦公式 结论: 两平面垂直 两平面平行或重合 例1 求两平面 和 的夹角。 例2 一平面通过两点 和 且 垂直于平面 ，求它的方程。 点到平面的距离公式 到平面 的距离 一、空间直线的一般方程 设两个平面方程分别为 得到空间直线的一般方程 因为通过空间一直线L的平面有无数个，所以只要在这无数多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L。 二、空间直线的点向式方程 1、直线的方向向量：平行于一条直线的非零向量。 记为 直线上任一向量都平行于该直线，故可以 作为该直线的方向向量。 2、问：已知空间一点、一条直线，过这个点可作 几条平行于已知直线的直线？ 答：有且仅有一条。 空间直线的点向式方程（或对称式方程） 设 是直线L上一点， L的方向向量为 在直线L上任取一点M， 则M坐标满足 补充定义： 的坐标m、n、p叫做直线L的一组方向数。 的方向余弦称为该直线L的方向余弦。 三、空间直线的参数方程 在直线的点向式方程中 设 得到 （其中t为参数） 直线方程三种形式的互化 （1）一般方程 （2）点向式 （3）参数方程 只要对（2）取参数t，即得（3） 从（3）中消去参数t，即得（2） 例 用点向式方程及参数方程表示直线 四、两直线的夹角 1、定义：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）。 2、设两直线的